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Les exercices sur les intégrales et le changement de variable sont essentiels pour comprendre comment simplifier le processus d'intégration en transformant la variable d'intégration. Voici quelques exercices pour renforcer vos compétences dans ce domaine.
Exercice 1 : Intégrale avec un Changement de Variable Simple
Calculez l'intégrale suivante en utilisant un changement de variable approprié :
[ \int (2x + 1) , dx ]
Solution
Choix du changement de variable :
Posons ( u = 2x + 1 ).
Alors, ( du = 2 , dx ) ou ( dx = \frac{1}{2} , du ).
Changer les bornes de l'intégrale (si nécessaire) :
Si l'intégrale est définie sur un intervalle, il faut modifier les bornes en fonction de ( u ).
Réécrire l'intégrale :
L'intégrale devient [ \int u \cdot \frac{1}{2} , du ].
Intégrer :
(\frac{1}{2} \int u , du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^2}{2} + C = \frac{u^2}{4} + C).
Revenir à la variable d'origine :
Remplacer ( u ) par ( 2x + 1 ) : ( \frac{(2x + 1)^2}{4} + C ).
Exercice 2 : Changement de Variable Trigonométrique
Calculez l'intégrale suivante en utilisant une substitution trigonométrique :
[ \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} , dx ]
Solution
Choix du changement de variable :
Posons ( x = a \sin \theta ).
Alors, ( dx = a \cos \theta , d\theta ).
Changer les bornes de l'intégrale (si nécessaire) :
Modifier les bornes en fonction de ( \theta ) si l'intégrale est définie sur un intervalle.
Réécrire l'intégrale :
L'intégrale devient [ \int \frac{a \cos \theta}{\sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 \theta}} , d\theta ].
Simplifier l'intégrale :
(\sqrt{a^2(1 - \sin^2 \theta)} = a \cos \theta), donc l'intégrale se simplifie en [ \int d\theta = \theta + C ].
Revenir à la variable d'origine :
Remplacer ( \theta ) par ( \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) ) : ( \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C ).
Ces exercices devraient vous aider à maîtriser l'art du changement de variable pour simplifier les intégrales. N'hésitez pas à essayer de nouvelles substitutions pour voir comment elles affectent l'intégration.
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