Exercices de Calcul Intégral pour BTS

 

Exercice 1 : Intégration de Fonctions Polynomiales

Énoncé

Intégrez la fonction polynomiale suivante sur l'intervalle ([1, 3]) :

[ f(x) = 2x^3 - 4x^2 + x - 5 ]

Solution

1. Calcul de la primitive

   Trouvons la primitive ( F(x) ) de ( f(x) ).

   [ F(x) = \int (2x^3 - 4x^2 + x - 5) , dx ]

   [ F(x) = \frac{2}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 5x + C ]

   [ F(x) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 5x + C ]

2. Calcul de l'intégrale définie

   Évaluons l'intégrale définie de ( f(x) ) sur ([1, 3]).

   [ \int_{1}^{3} f(x) , dx = F(3) - F(1) ]

   [ F(3) = \frac{1}{2}(3)^4 - \frac{4}{3}(3)^3 + \frac{1}{2}(3)^2 - 5(3) ]

   [ F(1) = \frac{1}{2}(1)^4 - \frac{4}{3}(1)^3 + \frac{1}{2}(1)^2 - 5(1) ]

   Calculez les valeurs et soustrayez-les pour obtenir la solution.

Exercice 2 : Intégration par Parties

Énoncé

Calculez l'intégrale suivante en utilisant la méthode d'intégration par parties :

[ \int x e^x , dx ]

Solution

1. Choix des fonctions u et v'

   Soit ( u = x ) et ( dv = e^x , dx ).

   Ainsi, ( du = dx ) et ( v = e^x ).

2. Formule d'intégration par parties

   [ \int u , dv = uv - \int v , du ]

   Appliquons la formule :

   [ \int x e^x , dx = x e^x - \int e^x , dx ]

   [ = x e^x - e^x + C ]

Exercice 3 : Intégrale Impropre

Énoncé

Évaluez l'intégrale impropre suivante :

[ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} , dx ]

Solution

1. Calcul de la primitive

   Trouvons la primitive ( F(x) ) de (\frac{1}{x^2}).

   [ F(x) = \int \frac{1}{x^2} , dx = -\frac{1}{x} + C ]

2. Calcul de l'intégrale impropre

   Évaluons l'intégrale de ( 1 ) à ( \infty ).

   [ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} , dx = \lim_{b \to \infty} \left(-\frac{1}{b} + \frac{1}{1}\right) ]

   [ = \lim_{b \to \infty} (-\frac{1}{b} + 1) = 1 ]

Voici une série d'exercices pour vous aider à maîtriser le calcul intégral, un sujet crucial pour le programme de BTS. Ces exercices couvrent différentes techniques et applications de l'intégration.

Exercice 1 : Intégration de Fonctions Polynomiales

Calculez les intégrales suivantes :

1. (\int (3x^2 + 2x + 1) , dx)

2. (\int (5x^3 - 4x + 6) , dx)

Exercice 2 : Intégration par Parties

Utilisez la méthode d'intégration par parties pour résoudre :

1. (\int x e^x , dx)

2. (\int \ln(x) , dx)

Exercice 3 : Intégrales Définies

Calculez les intégrales définies suivantes :

1. (\int_{0}^{2} (4x^3 - 2x) , dx)

2. (\int_{1}^{3} (x^2 - 3x + 2) , dx)

Exercice 4 : Substitution

Utilisez la méthode de substitution pour calculer les intégrales suivantes :

1. (\int (2x + 1)^3 , dx)

2. (\int \sin(x) \cos(x) , dx)

Exercice 5 : Applications de l'Intégration

1. Trouvez l'aire sous la courbe de la fonction (f(x) = x^2 + 2x + 1) entre (x = 1) et (x = 4).

2. Calculez le volume du solide de révolution obtenu en faisant tourner autour de l'axe des abscisses la région délimitée par la courbe (y = x^2) et la droite (y = 0) entre (x = 0) et (x = 2).

Ces exercices vous aideront à pratiquer et à approfondir votre compréhension des concepts clés du calcul intégral. N'oubliez pas de vérifier vos solutions à l'aide de tables d'intégrales ou de logiciels de calcul formel pour confirmer vos résultats.