Exercices de Dérivation sous le Signe Intégral

 

La dérivation sous le signe intégral est une méthode essentielle en calcul intégral avancé, permettant de différencier une intégrale par rapport à un paramètre. Voici quelques exercices pour pratiquer cette technique.

Exercice 1

Enoncé :
Soit la fonction ( f(x, t) = e^{-xt} ). Calculez la dérivée de l'intégrale suivante par rapport à ( x ) :

[ F(x) = \int_{0}^{1} e^{-xt} , dt ]

Solution :
Pour dériver ( F(x) ) par rapport à ( x ), nous utilisons la formule de dérivation sous le signe intégral :

[ \frac{d}{dx} \left( \int_{0}^{1} e^{-xt} , dt \right) = \int_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial x} (e^{-xt}) , dt ]

Calculons la dérivée partielle :

[ \frac{\partial}{\partial x} (e^{-xt}) = -t e^{-xt} ]

Ainsi, la dérivée de ( F(x) ) est :

[ F'(x) = \int_{0}^{1} -t e^{-xt} , dt = -\int_{0}^{1} t e^{-xt} , dt ]

Exercice 2

Enoncé :
Calculez la dérivée par rapport à ( x ) de l'intégrale suivante :

[ G(x) = \int_{a}^{b} \sin(xt) , dt ]

Solution :
En utilisant la dérivation sous le signe intégral, nous avons :

[ \frac{d}{dx} \left( \int_{a}^{b} \sin(xt) , dt \right) = \int_{a}^{b} \frac{\partial}{\partial x} (\sin(xt)) , dt ]

La dérivée partielle est :

[ \frac{\partial}{\partial x} (\sin(xt)) = t \cos(xt) ]

Ainsi, la dérivée de ( G(x) ) est :

[ G'(x) = \int_{a}^{b} t \cos(xt) , dt ]

Exercice 3

Enoncé :
Déterminez la dérivée de la fonction suivante par rapport à ( x ) :

[ H(x) = \int_{0}^{2} x^2 \cos(tx) , dt ]

Solution :
En appliquant la méthode de dérivation sous le signe intégral :

[ \frac{d}{dx} \left( \int_{0}^{2} x^2 \cos(tx) , dt \right) = \int_{0}^{2} \frac{\partial}{\partial x} (x^2 \cos(tx)) , dt ]

Calculons la dérivée partielle :

[ \frac{\partial}{\partial x} (x^2 \cos(tx)) = 2x \cos(tx) - x^2 t \sin(tx) ]

Donc, la dérivée de ( H(x) ) est :

[ H'(x) = \int_{0}^{2} (2x \cos(tx) - x^2 t \sin(tx)) , dt ]

Ces exercices vous permettront de mieux comprendre et maîtriser la technique de dérivation sous le signe intégral. N'hésitez pas à les résoudre en intégrant vos valeurs spécifiques pour affiner vos compétences