Exercices sur les Intégrales à Paramètres

 

Introduction

Les intégrales à paramètres sont une extension des intégrales ordinaires où l'on introduit un paramètre externe dans l'intégrale. Cela permet d'analyser comment l'intégrale change lorsque le paramètre varie.

Exercice 1 : Intégrale dépendant d'un paramètre

Considérons l'intégrale suivante dépendant d'un paramètre ( a ) :

[ I(a) = \int_{0}^{1} e^{ax} , dx ]

1. Calculer ( I(a) ) en fonction de ( a ).

   Solution : En effectuant l'intégration, on obtient :

   [ I(a) = \left[ \frac{e^{ax}}{a} \right]_{0}^{1} = \frac{e^{a} - 1}{a} ]

2. Étudier le comportement de ( I(a) ) lorsque ( a \rightarrow 0 ).

   Solution : En utilisant le développement de Taylor, on trouve :

   [ I(a) \approx 1 + \frac{a}{2} + \frac{a^2}{6} + \ldots ]

   Ainsi, ( I(a) \rightarrow 1 ) lorsque ( a \rightarrow 0 ).

Exercice 2 : Influence d'un paramètre sur une fonction trigonométrique

Considérons l'intégrale suivante :

[ J(b) = \int_{0}^{\pi} \sin(bx) , dx ]

1. Calculer ( J(b) ) en fonction de ( b ).

   Solution : En intégrant, on obtient :

   [ J(b) = \left[ -\frac{\cos(bx)}{b} \right]_{0}^{\pi} = \frac{2}{b} ]

2. Analyser le comportement de ( J(b) ) lorsque ( b \rightarrow 0 ).

   Solution : En utilisant le développement de Taylor pour la fonction sinus, on trouve que :

   [ J(b) \approx \pi - \frac{\pi^3 b^2}{6} + \ldots ]

   Ainsi, ( J(b) \rightarrow \pi ) lorsque ( b \rightarrow 0 ).

Exercice 3 : Application d'un paramètre dans une intégrale exponentielle

Considérons l'intégrale suivante :

[ K(c) = \int_{1}^{e} \ln(cx) , dx ]

1. Calculer ( K(c) ) en fonction de ( c ).

   Solution : En intégrant, nous obtenons :

   [ K(c) = \left[ x \ln(cx) - x \right]_{1}^{e} = e \ln(ce) - e - (\ln(c) - 1) ]

2. Étudier le comportement de ( K(c) ) lorsque ( c \rightarrow 1 ).

   Solution : En simplifiant, on observe que :

   [ K(c) \rightarrow e - 1 ]

Ces exercices permettent de comprendre comment un paramètre peut influencer la valeur d'une intégrale et comment celle-ci peut être utilisée pour explorer des propriétés analytiques.