Exercices sur le Calcul Intégral pour BTS

 

Voici une série d'exercices supplémentaires sur le calcul intégral, accompagnés de leurs corrigés. Ces exercices sont conçus pour approfondir vos compétences en intégration et vous préparer efficacement aux examens de BTS.

Exercice 1 : Intégration d'une fonction exponentielle

Énoncé :

Calculez l'intégrale indéfinie de la fonction suivante : [ f(x) = e^{2x} ]

Solution :

Pour intégrer une fonction exponentielle, nous utilisons la règle d'intégration pour les exponentielles.

[ \int e^{2x} , dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C ]

Ainsi, la solution est : [ \int e^{2x} , dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C ]

Exercice 2 : Intégration d'une fonction trigonometrique

Énoncé :

Calculez l'intégrale suivante : [ \int \sin(x) , dx ]

Solution :

L'intégrale de (\sin(x)) est (-\cos(x)).

[ \int \sin(x) , dx = -\cos(x) + C ]

Donc, la solution est : [ \int \sin(x) , dx = -\cos(x) + C ]

Exercice 3 : Intégration par substitution

Énoncé :

Calculez l'intégrale suivante en utilisant la méthode de substitution : [ \int (3x + 2)^4 , dx ]

Solution :

Utilisons la substitution (u = 3x + 2), alors (du = 3 , dx) donc (dx = \frac{du}{3}).

Substituons dans l'intégrale : [ \int (3x + 2)^4 , dx = \int u^4 \cdot \frac{1}{3} , du ] [ = \frac{1}{3} \int u^4 , du ]

Intégrons maintenant (u^4) : [ \frac{1}{3} \cdot \frac{u^5}{5} + C = \frac{u^5}{15} + C ]

Revenons à la variable (x) : [ \frac{(3x + 2)^5}{15} + C ]

Ainsi, la solution est : [ \int (3x + 2)^4 , dx = \frac{(3x + 2)^5}{15} + C ]

Ces exercices vous aideront à maîtriser différentes techniques d'intégration essentielles pour réussir dans vos études de BTS. Assurez-vous de bien comprendre chaque méthode avant de passer à des exercices plus avancés.