exercice integrale avec changement de variable

 

Exercice 1 : Intégration par changement de variable

Énoncé :

Calculez l'intégrale suivante en utilisant la méthode du changement de variable : [ \int \sqrt{1 + x^2} , dx ]

Solution :

Pour appliquer la méthode du changement de variable, nous devons choisir une substitution qui simplifie l'intégrale. Dans ce cas, utilisons la substitution trigonométrique ( x = \tan(\theta) ), ce qui implique ( dx = \sec^2(\theta) , d\theta ).

• Alors, ( 1 + x^2 = 1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta) ).

Substituons dans l'intégrale : [ \int \sqrt{1 + x^2} , dx = \int \sqrt{\sec^2(\theta)} \cdot \sec^2(\theta) , d\theta ] [ = \int \sec^3(\theta) , d\theta ]

Pour intégrer (\sec^3(\theta)), utilisons l'identité (\sec^2(\theta) = 1 + \tan^2(\theta)) et intégrons par parties :

Choisissons ( u = \sec(\theta) ) et ( dv = \sec^2(\theta) , d\theta ).

• Alors, ( du = \sec(\theta)\tan(\theta) , d\theta ) et ( v = \tan(\theta) ).

Appliquons la formule d'intégration par parties : [ \int \sec^3(\theta) , d\theta = \sec(\theta)\tan(\theta) - \int \tan(\theta) \cdot \sec(\theta)\tan(\theta) , d\theta ] [ = \sec(\theta)\tan(\theta) - \int \sec(\theta)\tan^2(\theta) , d\theta ]

En utilisant l'identité (\tan^2(\theta) = \sec^2(\theta) - 1), nous avons : [ \int \sec(\theta)\tan^2(\theta) , d\theta = \int \sec(\theta)(\sec^2(\theta) - 1) , d\theta ] [ = \int \sec^3(\theta) , d\theta - \int \sec(\theta) , d\theta ]

Résolvons cette équation pour (\int \sec^3(\theta) , d\theta) : [ 2\int \sec^3(\theta) , d\theta = \sec(\theta)\tan(\theta) - \ln |\sec(\theta) + \tan(\theta)| ] [ \int \sec^3(\theta) , d\theta = \frac{1}{2}(\sec(\theta)\tan(\theta) - \ln |\sec(\theta) + \tan(\theta)|) + C ]

Revenons à la variable originale ( x ) avec ( \sec(\theta) = \sqrt{1 + x^2} ) et ( \tan(\theta) = x ) : [ \int \sqrt{1 + x^2} , dx = \frac{1}{2}\left(x\sqrt{1 + x^2} - \ln |x + \sqrt{1 + x^2}|\right) + C ]

Exercice 2 : Intégration avec Changement de Variable

Énoncé :

Calculez l'intégrale suivante en utilisant la méthode du changement de variable : [ \int \sqrt{2x + 3} , dx ]

Solution :

Pour résoudre cette intégrale, nous allons utiliser la méthode du changement de variable. Choisissons une nouvelle variable ( u ) telle que l'intégration devienne plus simple :

Prenons ( u = 2x + 3 ).

1. Calcul de du :

   [ \frac{du}{dx} = 2 \quad \Rightarrow \quad du = 2 , dx ]

   Donc, ( dx = \frac{1}{2} , du ).

2. Substitution dans l'intégrale :

   Remplaçons ( \sqrt{2x + 3} ) par ( \sqrt{u} ) et ( dx ) par (\frac{1}{2} , du) :

   [ \int \sqrt{2x + 3} , dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} , du ]

   [ = \frac{1}{2} \int u^{1/2} , du ]

3. Résolution de l'intégrale :

   Calculons cette nouvelle intégrale :

   [ \frac{1}{2} \int u^{1/2} , du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C ]

   [ = \frac{1}{3} u^{3/2} + C ]

4. Retour à la variable d'origine :

   Remplaçons ( u ) par ( 2x + 3 ) :

   [ = \frac{1}{3} (2x + 3)^{3/2} + C ]

La solution finale de l'intégrale est donc : [ \int \sqrt{2x + 3} , dx = \frac{1}{3} (2x + 3)^{3/2} + C ]

Exercice 3 : Intégration avec Changement de Variable

Énoncé :

Calculez l'intégrale suivante en utilisant la méthode de changement de variable : [ \int (2x + 1) e^{x^2 + x} , dx ]

Solution :

Pour appliquer le changement de variable, identifions une substitution appropriée. Observons que l'exposant de la fonction exponentielle est (x^2 + x). Posons donc (u = x^2 + x).

Ensuite, calculons la dérivée de (u) par rapport à (x) :

[ \frac{du}{dx} = 2x + 1 ]

Cela signifie que (du = (2x + 1) , dx). Nous pouvons maintenant remplacer dans l'intégrale :

[ \int (2x + 1) e^{x^2 + x} , dx = \int e^u , du ]

L'intégrale de (e^u) par rapport à (u) est simplement (e^u + C).

En remplaçant (u) par (x^2 + x), nous obtenons la solution finale :

[ \int (2x + 1) e^{x^2 + x} , dx = e^{x^2 + x} + C ]

Cette solution montre comment le changement de variable peut transformer une intégrale complexe en une expression plus maniable. Assurez-vous de bien comprendre chaque étape de la substitution et de l'intégration par parties.