Exercices sur les Intégrales à Paramètres pour BTS

 

Voici une série d'exercices sur les intégrales à paramètres, accompagnés de leurs corrigés. Ces exercices sont conçus pour vous aider à comprendre comment les paramètres affectent l'intégration et à vous préparer aux examens de BTS.

Exercice 1 : Intégrale à Paramètre Linéaire

Énoncé :

Calculez l'intégrale suivante en fonction du paramètre ( a ) : [ \int (ax + 3) , dx ]

Solution :

Intégrons chaque terme séparément :

1. (\int ax , dx = \frac{a}{2}x^2 + C_1)

2. (\int 3 , dx = 3x + C_2)

En combinant ces résultats, nous obtenons : [ \int (ax + 3) , dx = \frac{a}{2}x^2 + 3x + C ]

Exercice 2 : Intégration d'une Fonction Exponentielle avec Paramètre

Énoncé :

Calculez l'intégrale suivante où ( b ) est un paramètre : [ \int e^{bx} , dx ]

Solution :

Pour intégrer une fonction exponentielle, nous procédons comme suit :

[ \int e^{bx} , dx = \frac{1}{b}e^{bx} + C ]

Exercice 3 : Intégrale à Paramètre Quadratique

Énoncé :

Calculez l'intégrale suivante en fonction du paramètre ( c ) : [ \int (x^2 + cx + 4) , dx ]

Solution :

Intégrons chaque terme séparément :

1. (\int x^2 , dx = \frac{1}{3}x^3 + C_1)

2. (\int cx , dx = \frac{c}{2}x^2 + C_2)

3. (\int 4 , dx = 4x + C_3)

En combinant ces résultats, nous obtenons : [ \int (x^2 + cx + 4) , dx = \frac{1}{3}x^3 + \frac{c}{2}x^2 + 4x + C ]

Ces exercices vous permettent de maîtriser les intégrales comportant des paramètres. Assurez-vous de bien comprendre l'influence des paramètres sur chaque étape de l'intégration.