Calcul Intégral - Exercices pour Terminale S

 

Le calcul intégral est une composante essentielle des mathématiques en Terminale S, permettant de résoudre des problèmes liés aux aires et aux volumes, ainsi que de déterminer des fonctions primitives. Voici quelques exercices classiques pour pratiquer le calcul intégral.

Exercice 1 : Calcul d'une intégrale simple

Calculez l'intégrale suivante :

[ \int_{0}^{2} (3x^2 + 2x + 1) , dx ]

Indication : Décomposez l'intégrale en termes séparés et appliquez la formule de l'intégration sur chaque terme.

Exercice 2 : Aire sous une courbe

Déterminez l'aire de la région située sous la courbe de la fonction ( f(x) = x^3 ) entre ( x = 1 ) et ( x = 4 ).

Indication : Utilisez l'intégrale définie pour calculer l'aire sous la courbe.

Exercice 3 : Volume de révolution

Calculez le volume du solide obtenu par la rotation autour de l'axe ( x ) de la région sous la courbe de ( f(x) = \sqrt{x} ) entre ( x = 0 ) et ( x = 3 ).

Indication : Utilisez la formule du volume de révolution, ( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 , dx ).

Exercice 4 : Intégration par parties

Calculez l'intégrale suivante en utilisant la méthode de l'intégration par parties :

[ \int x e^x , dx ]

Indication : Choisissez judicieusement ( u ) et ( dv ) pour simplifier l'intégrale.

Exercice 5 : Application du théorème fondamental de l'analyse

Soit ( F(x) = \int_{0}^{x} t^2 , dt ), trouvez ( F'(x) ).

Indication : Appliquez le théorème fondamental de l'analyse pour dériver l'expression de ( F(x) ).

Ces exercices permettent de renforcer la compréhension et l'application des concepts de calcul intégral. Pour chaque exercice, il est important de justifier chaque étape de votre solution pour en vérifier la validité