Calcul Intégral - Exercices pour Terminale S

 

Le calcul intégral est une partie essentielle des mathématiques en Terminale S. Voici une série d'exercices pour vous aider à maîtriser ce sujet.

Exercices

Exercice 1 : Équation fonctionnelle simple

Considérez l'équation fonctionnelle suivante :

[ f(x + y) = f(x) + f(y) ]

Question : Trouvez toutes les fonctions ( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} ) qui satisfont cette équation.

Piste de solution :

1. Essayez de déterminer la valeur de ( f(0) ) en substituant ( y = 0 ) dans l'équation.

2. Envisagez la possibilité que ( f(x) ) soit une fonction linéaire.

3. Testez des valeurs spécifiques pour ( x ) et ( y ) afin de vérifier des hypothèses sur la forme de ( f(x) ).

Exercice 2 : Intégration de fonctions polynomiales

Calculez l'intégrale suivante :

[ \int (3x^2 + 2x + 1) , dx ]

Question : Quelle est la primitive de cette fonction ?

Piste de solution :

1. Intégrez chaque terme séparément.

2. N'oubliez pas d'ajouter la constante d'intégration ( C ).

Exercice 3 : Application de la méthode des rectangles

Consigne : Approchez l'aire sous la courbe de ( f(x) = x^2 ) entre ( x = 0 ) et ( x = 2 ) en utilisant la méthode des rectangles avec ( n = 4 ) divisions.

Piste de solution :

1. Calculez la largeur de chaque rectangle.

2. Évaluez la hauteur des rectangles en utilisant la fonction ( f(x) ).

3. Additionnez l'aire de tous les rectangles pour obtenir une approximation.

Exercice 4 : Intégrale par parties

Calculez l'intégrale suivante en utilisant la méthode d'intégration par parties :

[ \int x \cdot e^x , dx ]

Question : Quelle est la primitive de cette fonction ?

Piste de solution :

1. Identifiez ( u ) et ( dv ) pour l'application de la formule d'intégration par parties.

2. Appliquez la formule : (\int u , dv = uv - \int v , du).

3. Intégrez pour trouver la solution finale.

Ces exercices sont conçus pour renforcer votre compréhension du calcul intégral et vous préparer aux examens. Bon courage dans votre étude !