Exercices de Calcul Intégral - MPSI

 Exercice 1 : Équation fonctionnelle simple

Considérez l'équation fonctionnelle suivante :

[ f(x + y) = f(x) + f(y) ]

Question

: Trouvez toutes les fonctions ( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} ) qui satisfont cette équation.

Piste de solution

:

• Essayez de déterminer la valeur de ( f(0) ) en substituant (</post_context>

Exercice 2 : Intégration simple

Calculez l'intégrale suivante :

[ \int_{0}^{1} (3x^2 + 2x + 1) , dx ]

Solution :

1. Décomposition de l'intégrale :

   [ \int_{0}^{1} (3x^2 + 2x + 1) , dx = \int_{0}^{1} 3x^2 , dx + \int_{0}^{1} 2x , dx + \int_{0}^{1} 1 , dx ]

2. Calcul de chaque terme :

   • (\int_{0}^{1} 3x^2 , dx = \left[ x^3 \right]_{0}^{1} = 1^3 - 0^3 = 1)

   • (\int_{0}^{1} 2x , dx = \left[ x^2 \right]_{0}^{1} = 1^2 - 0^2 = 1)

   • (\int_{0}^{1} 1 , dx = \left[ x \right]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1)

3. Résultat final :

   [ \int_{0}^{1} (3x^2 + 2x + 1) , dx = 1 + 1 + 1 = 3 ]

Exercice 3 : Intégrale d'une fonction composée

Calculez l'intégrale suivante :

[ \int_{0}^{\pi} \sin(x) \cdot e^x , dx ]

Solution :

1. Utilisation de l'intégration par parties :

   Soit ( u = \sin(x) ) et ( dv = e^x , dx ).

   • ( du = \cos(x) , dx )

   • ( v = e^x )

   Appliquez la formule de l'intégration par parties : (\int u , dv = uv - \int v , du).

2. Application de la formule :

   [ \int \sin(x) \cdot e^x , dx = \sin(x) \cdot e^x - \int e^x \cdot \cos(x) , dx ]

   Cette intégrale nécessite une nouvelle intégration par parties pour ( \int e^x \cdot \cos(x) , dx ), que je vous encourage à compléter selon la méthode détaillée dans vos cours.

Conclusion

Ces exercices fournissent une base solide pour maîtriser les techniques de calcul intégral. N'hésitez pas à explorer davantage d'exercices pour améliorer votre compréhension et votre compétence.