Calcul Intégral : Exercices Corrigés

 

Le calcul intégral est une branche fondamentale des mathématiques qui traite des intégrales, des antidérivées et des applications de ces concepts. Voici un ensemble d'exercices corrigés pour vous aider à mieux comprendre et pratiquer le calcul intégral.

Exercice 1 : Calcul d'une Intégrale Définie

Problème

Calculez l'intégrale définie suivante :

[ \int_{0}^{2} (3x^2 + 2x + 1) , dx ]

Solution

1. Trouvez la primitive de la fonction. La primitive de (3x^2) est (x^3), celle de (2x) est (x^2), et celle de (1) est (x).

2. Appliquez la formule de l'intégrale définie :

[ \int_{0}^{2} (3x^2 + 2x + 1) , dx = \left[ x^3 + x^2 + x \right]_{0}^{2} ]

3. Calculez les valeurs aux bornes :

[ = (2^3 + 2^2 + 2) - (0^3 + 0^2 + 0) = 8 + 4 + 2 = 14 ]

La valeur de l'intégrale définie est 14.

Exercice 2 : Application des Intégrales

Problème

Trouvez l'aire sous la courbe de la fonction (f(x) = x^2) entre (x = 1) et (x = 3).

Solution

1. Identifiez la fonction à intégrer : (f(x) = x^2).

2. Trouvez la primitive : La primitive de (x^2) est (\frac{x^3}{3}).

3. Appliquez la formule de l'intégrale définie :

[ \int_{1}^{3} x^2 , dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} ]

4. Calculez les valeurs aux bornes :

[ = \left( \frac{3^3}{3} \right) - \left( \frac{1^3}{3} \right) = \left( \frac{27}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} \right) = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} ]

L'aire sous la courbe est (\frac{26}{3}).

Exercice 3 : Intégrales Impropres

Problème

Calculez l'intégrale impropre suivante :

[ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} , dx ]

Solution

1. Trouvez la primitive de (\frac{1}{x^2}) : (-\frac{1}{x}).

2. Exprimez l'intégrale impropre comme une limite :

[ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} , dx = \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{b} ]

3. Calculez la limite :

[ = \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{1}{b} + 1 \right) = 0 + 1 = 1 ]

La valeur de l'intégrale impropre est 1.

Ces exercices offrent un aperçu des techniques fondamentales du calcul intégral. En les pratiquant, vous renforcerez votre compréhension des concepts clés et serez mieux préparé pour les applications avancées.