Exercices sur les Intégrales pour Terminale STI2D

 

Les intégrales sont un concept fondamental en mathématiques, particulièrement important pour les élèves en Terminale STI2D. Voici quelques exercices pour vous aider à maîtriser ce sujet.

Exercice 1 : Calcul d'une Intégrale Définie

Enoncé :

Calculez l'intégrale définie suivante :

[ \int_{0}^{2} (3x^2 + 2x + 1) , dx ]

Solution :

1. Primitivation : Trouver la primitive de la fonction (3x^2 + 2x + 1).

   • La primitive de (3x^2) est (x^3).

   • La primitive de (2x) est (x^2).

   • La primitive de (1) est (x).

   Donc, la primitive de (3x^2 + 2x + 1) est (x^3 + x^2 + x).

2. Calcul de l'intégrale : [ \left[ x^3 + x^2 + x \right]_{0}^{2} = (2^3 + 2^2 + 2) - (0^3 + 0^2 + 0) ]

   [ = (8 + 4 + 2) - 0 = 14 ]

Exercice 2 : Application des Intégrales

Enoncé :

Trouvez l'aire de la région délimitée par la courbe (y = 4 - x^2) et l'axe des abscisses entre (x = -2) et (x = 2).

Solution :

1. Déterminer l'intégrale : [ \int_{-2}^{2} (4 - x^2) , dx ]

2. Primitivation :

   • La primitive de (4) est (4x).

   • La primitive de (-x^2) est (-\frac{x^3}{3}).

   Donc, la primitive de (4 - x^2) est (4x - \frac{x^3}{3}).

3. Calcul de l'intégrale : [ \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \left( 4(2) - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right) ]

   [ = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{-8}{3} \right) ]

   [ = \left( \frac{24}{3} - \frac{8}{3} \right) - \left( -\frac{24}{3} - \frac{8}{3} \right) ]

   [ = \frac{16}{3} + \frac{32}{3} = \frac{48}{3} = 16 ]

   L'aire de la région est donc 16 unités carrées.

Ces exercices permettent de comprendre comment appliquer les intégrales pour résoudre des problèmes concrets. N'hésitez pas à pratiquer davantage pour vous familiariser avec ces concepts.