Exercices sur les Intégrales Triples

 

Les intégrales triples permettent de calculer le volume ou d'autres propriétés d'une fonction à trois variables dans un espace tridimensionnel. Voici quelques exercices pour vous aider à maîtriser ce concept.

Exercice 1 : Calcul d'une Intégrale Triple Simple

Énoncé : Calculez l'intégrale triple de la fonction ( f(x, y, z) = xyz ) sur le cube défini par ( 0 \leq x, y, z \leq 1 ).

Solution :

1. Définir les limites d'intégration :

   • Pour ( x ), ( y ), et ( z ), les limites vont de 0 à 1.

2. Calcul de l'intégrale :

   • [ \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 xyz , dx , dy , dz ]

   
   

3. Résolution :

   • Intégrez d'abord par rapport à ( x ): [ \int_0^1 xyz , dx = \left[ \frac{x^2}{2} yz \right]_0^1 = \frac{1}{2} yz ]

   • Ensuite, par rapport à ( y ): [ \int_0^1 \frac{1}{2} yz , dy = \left[ \frac{1}{4} y^2 z \right]_0^1 = \frac{1}{4} z ]

   • Enfin, par rapport à ( z ): [ \int_0^1 \frac{1}{4} z , dz = \left[ \frac{1}{8} z^2 \right]_0^1 = \frac{1}{8} ]

   • Résultat final : (\frac{1}{8})

Exercice 2 : Volume d'une Région Définie

Énoncé : Trouvez le volume de la région de l'espace définie par ( x^2 + y^2 + z^2 \leq 1 ) et ( z \geq 0 ).

Indications :

1. Utilisez des coordonnées sphériques pour simplifier le calcul.

2. Rappelez-vous que le volume d'une hémisphère est la moitié de celui d'une sphère complète.

Coordonnées sphériques :

• ( x = \rho \sin\theta \cos\phi )

• ( y = \rho \sin\theta \sin\phi )

• ( z = \rho \cos\theta )

Limites :

• ( 0 \leq \rho \leq 1 )

• ( 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} )

• ( 0 \leq \phi \leq 2\pi )

Solution :

1. Expression de l'intégrale en coordonnées sphériques :

   • [ \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 \rho^2 \sin\theta , d\rho , d\theta , d\phi ]

   
   

2. Calcul des intégrales :

   • Intégrer par rapport à ( \rho ): [ \int_0^1 \rho^2 , d\rho = \left[ \frac{\rho^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} ]

   • Ensuite par rapport à ( \theta ): [ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta , d\theta = \left[ -\cos\theta \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1 ]

   • Enfin par rapport à ( \phi ): [ \int_0^{2\pi} , d\phi = 2\pi ]

3. Résultat final :

   • Volume = ( \frac{1}{3} \times 1 \times 2\pi = \frac{2\pi}{3} )

Ces exercices vous permettront de mieux comprendre les intégrales triples et leur application à des problèmes géométriques et physiques.