Exercices sur les Intégrales Généralisées

Les intégrales généralisées, ou intégrales impropres, sont une extension du concept d'intégrale définie lorsque les bornes d'intégration ou la fonction intégrée présentent des comportements problématiques (comme l'infini ou des discontinuités). Voici quelques exercices pour vous familiariser avec ces concepts.

Exercice 1 : Intégrale impropre avec une borne infinie

Considérez l'intégrale suivante :

[ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} , dx ]

Question : Déterminez si cette intégrale converge ou diverge, et si elle converge, trouvez sa valeur.

Exercice 2 : Intégrale impropre avec une discontinuité

Étudiez l'intégrale suivante :

[ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} , dx ]

Question : Cette intégrale est-elle convergente ou divergente ? Justifiez votre réponse et trouvez la valeur si elle converge.

Exercice 3 : Comparaison d'intégrales

Comparez les intégrales suivantes pour déterminer lesquelles convergent et lesquelles divergent :

1. [ \int_{0}^{\infty} e^{-x} , dx ]

2. [ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} , dx ]

3. [ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x \ln(x)} , dx ]

Question : En utilisant le critère de comparaison, analysez la convergence de chaque intégrale.

Exercice 4 : Application de l'intégrale impropre

Considérez une fonction rationnelle pour l'intégrale suivante :

[ \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(x^2 + 1)^2} , dx ]

Question : Déterminez la convergence ou la divergence de cette intégrale, et trouvez sa valeur si elle converge.

Ces exercices vous aideront à comprendre comment manipuler et évaluer les intégrales généralisées. N'oubliez pas d'appliquer les critères de convergence appropriés et de justifier vos réponses de manière rigoureuse.