Exercices sur les Fonctions Exponentielles Corrigés

 

Les fonctions exponentielles sont essentielles en mathématiques, notamment en calcul différentiel et intégral. Voici quelques exercices corrigés pour vous aider à mieux comprendre et maîtriser ce concept.

Exercice 1 : Calcul de Valeur

Énoncé :
Calculez la valeur de ( f(x) = 3e^{2x} ) pour ( x = 1 ).

Solution :
Pour calculer ( f(1) ), substituez ( x = 1 ) dans l'expression donnée.

[ f(1) = 3e^{2 \times 1} = 3e^2 ]

La valeur de ( e^2 ) est approximativement 7,389, donc :

[ f(1) \approx 3 \times 7,389 = 22,167 ]

Exercice 2 : Dérivée d'une Fonction Exponentielle

Énoncé :
Trouvez la dérivée de ( f(x) = 5e^{3x} ).

Solution :
La règle de dérivation des fonctions exponentielles est que si ( f(x) = ae^{bx} ), alors ( f'(x) = abe^{bx} ).

Pour ( f(x) = 5e^{3x} ), nous avons :

[ f'(x) = 5 \times 3e^{3x} = 15e^{3x} ]

Exercice 3 : Intégration d'une Fonction Exponentielle

Énoncé :
Calculez l'intégrale (\int 4e^{5x} , dx).

Solution :
L'intégrale d'une fonction exponentielle de la forme ( ae^{bx} ) est (\frac{a}{b}e^{bx} + C), où ( C ) est la constante d'intégration.

Pour (\int 4e^{5x} , dx), nous avons :

[ \int 4e^{5x} , dx = \frac{4}{5}e^{5x} + C ]

Exercice 4 : Résolution d'une Équation Exponentielle

Énoncé :
Résolvez l'équation ( 2e^{x} = 10 ).

Solution :
Pour résoudre cette équation, commencez par isoler ( e^{x} ).

[ e^{x} = \frac{10}{2} = 5 ]

Ensuite, prenez le logarithme naturel des deux côtés :

[ x = \ln(5) ]

Environ, ( \ln(5) \approx 1,609 ).

Exercice 5 : Application en Problèmes Réels

Énoncé :
La population d'une ville augmente selon le modèle ( P(t) = 1000e^{0,03t} ), où ( t ) est le temps en années. Quelle sera la population dans 10 ans ?

Solution :
Pour trouver ( P(10) ), substituez ( t = 10 ) dans l'expression donnée.

[ P(10) = 1000e^{0,03 \times 10} = 1000e^{0,3} ]

La valeur de ( e^{0,3} ) est approximativement 1,3499, donc :

[ P(10) \approx 1000 \times 1,3499 = 1349,9 ]

La population sera d'environ 1350 habitants dans 10 ans.

Ces exercices couvrent différentes applications des fonctions exponentielles, de la simple évaluation de la fonction à la résolution d'équations et à l'utilisation dans des modèles réels. Cela devrait vous aider à développer une compréhension approfondie de ce sujet fondamental.