Les C*-algèbres et leurs Représentations

Les C*-algèbres sont des structures mathématiques importantes dans le domaine de l'analyse fonctionnelle et ont des applications significatives en physique, notamment dans la mécanique quantique. Elles offrent un cadre rigoureux pour étudier les opérateurs sur des espaces de Hilbert, et leurs représentations jouent un rôle essentiel dans la théorie quantique des champs.

Définition des C*-algèbres

Une

C

-algèbre

* est une algèbre associative complexe, munie d'une norme et d'une opération d'involution, qui satisfait certaines propriétés clés :

• Associativité

  : Pour toute combinaison de trois éléments (a), (b), et (c) de l'algèbre, la relation ((ab)c = a(bc)) est respectée.

• Norme

  : La norme définie sur l'algèbre, notée (|a|), doit satisfaire la condition (|ab| \leq |a||b|) pour tous les (a, b).

• Involution

  : Une opération qui associe à chaque élément (a) un autre élément (a^

  ) de l'algèbre, telle que ((a^

  )^* = a) et ((ab)^* = b^* a^*).

• C

  -condition
  * : Cette condition unique spécifie que (|a^*a| = |a|^2) pour tout élément (a).

Représentations des C*-algèbres

Une

représentation

d'une C*-algèbre est une application qui associe chaque élément de l'algèbre à un opérateur borné sur un espace de Hilbert, préservant les opérations d'addition, de multiplication et d'involution. Les représentations sont cruciales pour comprendre la structure interne des C*-algèbres et pour leur application en physique théorique.

Types de Représentations

1. Représentations irréductibles

   : Ce sont des représentations qui ne peuvent pas être décomposées en sous-représentations plus simples. Elles permettent de comprendre les blocs fondamentaux de la structure de l'algèbre.

2. Représentations unitales

   : Ces représentations conservent l'identité multiplicative de l'algèbre, ce qui signifie qu'elles mappent l'unité de la C*-algèbre à l'opérateur identité sur l'espace de Hilbert.

3. Représentations non dégénérées

   : Dans ces représentations, l'image de tout élément non nul de l'algèbre est un opérateur non nul sur l'espace de Hilbert.

Applications des C*-algèbres

Les C*-algèbres sont utilisées dans la formulation mathématique de la mécanique quantique, où elles permettent de représenter les observables physiques comme des opérateurs sur un espace de Hilbert. Elles jouent également un rôle dans la théorie quantique des champs et l'étude des systèmes dynamiques.

En résumé, les C*-algèbres et leurs représentations constituent un outil puissant pour l'analyse mathématique des systèmes quantiques et offrent une compréhension profonde des structures fondamentales en physique théorique.