Les suites arithmétiques et géométriques

 

Les suites arithmétiques et géométriques sont deux types de suites numériques souvent étudiées en mathématiques. Elles se distinguent par leur mode de progression et ont des formules spécifiques qui permettent de calculer leurs termes.

Suite arithmétique

Définition

Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme est obtenu en ajoutant un nombre constant, appelé

raison

(notée généralement ( r )), au terme précédent.

Formule du terme général

La formule pour calculer le ( n )-ième terme (( a_n )) d'une suite arithmétique est donnée par :

[ a_n = a_1 + (n-1) \times r ]

où :

• ( a_1 ) est le premier terme de la suite,

• ( n ) est le rang du terme,

• ( r ) est la raison de la suite.

Exemple

Considérons la suite : 2, 5, 8, 11, ...

• Le premier terme (( a_1 )) est 2.

• La raison (( r )) est 3 (car 5 - 2 = 3, 8 - 5 = 3, etc.).

Le ( n )-ième terme est donc donné par :

[ a_n = 2 + (n-1) \times 3 ]

Suite géométrique

Définition

Une suite géométrique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre constant, appelé

raison

(notée souvent ( q )).

Formule du terme général

La formule pour calculer le ( n )-ième terme (( a_n )) d'une suite géométrique est :

[ a_n = a_1 \times q^{(n-1)} ]

où :

• ( a_1 ) est le premier terme de la suite,

• ( n ) est le rang du terme,

• ( q ) est la raison de la suite.

Exemple

Considérons la suite : 3, 6, 12, 24, ...

• Le premier terme (( a_1 )) est 3.

• La raison (( q )) est 2 (car 6 / 3 = 2, 12 / 6 = 2, etc.).

Le ( n )-ième terme est donc donné par :

[ a_n = 3 \times 2^{(n-1)} ]

Comparaison des deux suites

Caractéristique	Suite Arithmétique	Suite Géométrique
Progression	Addition d'une constante	Multiplication par une constante
Formule du terme ( n )	( a_n = a_1 + (n-1) \times r )	( a_n = a_1 \times q^{(n-1)} )
Exemple	2, 5, 8, 11, ...	3, 6, 12, 24, ...

Ces suites sont fondamentales en mathématiques et ont de nombreuses applications pratiques, notamment en finance, en physique et en ingénierie. Comprendre leurs propriétés et leur comportement est essentiel pour résoudre divers problèmes numériques et analytiques.