Exercices Corrigés sur les Suites Arithmétiques et Géométriques

 

Dans cet article, nous allons explorer les concepts de suite arithmétique et de suite géométrique à travers des exercices corrigés. Ces types de suites sont des outils fondamentaux en mathématiques, largement utilisés pour modéliser des phénomènes linéaires et exponentiels.

Suite Arithmétique

Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette différence est appelée raison de la suite.

Exemple d'Exercice

Enoncé :
Considérons la suite arithmétique définie par ( u_1 = 3 ) et une raison ( r = 5 ). Calculez les cinq premiers termes de la suite, ainsi que l'expression du terme général ( u_n ).

Solution :

1. Calcul des premiers termes :
   • ( u_1 = 3 )
   • ( u_2 = u_1 + r = 3 + 5 = 8 )
   • ( u_3 = u_2 + r = 8 + 5 = 13 )
   • ( u_4 = u_3 + r = 13 + 5 = 18 )
   • ( u_5 = u_4 + r = 18 + 5 = 23 )
2. Terme général :
   La formule du terme général d'une suite arithmétique est donnée par :
   [
   u_n = u_1 + (n-1) \times r
   ]
   Donc, pour notre suite :
   [
   u_n = 3 + (n-1) \times 5 = 5n - 2
   ]

Suite Géométrique

Une suite géométrique est une suite de nombres dans laquelle le rapport entre deux termes consécutifs est constant. Ce rapport est appelé raison de la suite.

Exemple d'Exercice

Enoncé :
Considérons la suite géométrique définie par ( v_1 = 2 ) et une raison ( q = 3 ). Calculez les cinq premiers termes de la suite, ainsi que l'expression du terme général ( v_n ).

Solution :

1. Calcul des premiers termes :
   • ( v_1 = 2 )
   • ( v_2 = v_1 \times q = 2 \times 3 = 6 )
   • ( v_3 = v_2 \times q = 6 \times 3 = 18 )
   • ( v_4 = v_3 \times q = 18 \times 3 = 54 )
   • ( v_5 = v_4 \times q = 54 \times 3 = 162 )
2. Terme général :
   La formule du terme général d'une suite géométrique est donnée par :
   [
   v_n = v_1 \times q^{(n-1)}
   ]
   Donc, pour notre suite :
   [
   v_n = 2 \times 3^{(n-1)}
   ]

Ces exercices montrent comment identifier et travailler avec des suites arithmétiques et géométriques. La clé est de comprendre les concepts de raison et de terme général, qui permettent de modéliser et de résoudre des problèmes mathématiques variés.