Argument d'un Nombre Complexe et Fonction Arctan

 

Les nombres complexes et les fonctions trigonométriques inverses, comme l'arctangente, sont des concepts essentiels en mathématiques, particulièrement en analyse complexe et en géométrie analytique. Dans ce texte, nous allons explorer comment déterminer l'argument d'un nombre complexe et le lien avec la fonction arctan.

Nombres Complexes

Un nombre complexe est généralement exprimé sous la forme ( z = a + bi ), où ( a ) et ( b ) sont des nombres réels, et ( i ) est l'unité imaginaire, vérifiant ( i^2 = -1 ).

Module et Argument

• Module : Le module d'un nombre complexe ( z = a + bi ) est donné par ( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} ).

• Argument : L'argument d'un nombre complexe ( z ), noté ( \arg(z) ), est l'angle (\theta) tel que ( z = |z|(\cos \theta + i\sin \theta) ).

L'argument peut être calculé à partir des coordonnées cartésiennes du nombre complexe :

[ \theta = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right) ]

Fonction Arctan

La fonction arctan, ou arctangente, est la fonction inverse de la tangente. Elle est utilisée pour déterminer l'angle dont la tangente donne un certain rapport. En analyse complexe, elle permet de trouver l'argument d'un nombre complexe.

Propriétés de l'Arctan

• Domaine : La fonction arctan est définie pour tous les nombres réels.

• Image : Les valeurs de l'arctan sont généralement comprises entre (-\frac{\pi}{2}) et (\frac{\pi}{2}).

Calcul de l'Argument avec Arctan

Pour un nombre complexe ( z = a + bi ), l'argument peut être déterminé en utilisant la fonction arctan de la manière suivante :

1. Quadrant I et IV (si ( a > 0 )) : [ \theta = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right) ]

2. Quadrant II et III (si ( a < 0 )) : [ \theta = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right) + \pi ]

3. Axe Imaginaire (si ( a = 0 )) :

   • Si ( b > 0 ), alors (\theta = \frac{\pi}{2}).

   • Si ( b < 0 ), alors (\theta = -\frac{\pi}{2}).

Exemple Pratique

Considérons le nombre complexe ( z = -1 + i ).

1. Calcul du module : [ |z| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} ]

2. Calcul de l'argument :

   • Ici, ( a = -1 ) et ( b = 1 ). Comme ( a < 0 ), nous utilisons : [ \theta = \tan^{-1} \left( \frac{1}{-1} \right) + \pi = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} ]

En conclusion, déterminer l'argument d'un nombre complexe implique une compréhension de la fonction arctan et des propriétés trigonométriques, permettant de situer le nombre dans le bon quadrant du plan complexe.