Exercices Corrigés sur l'Argument d'un Nombre Complexe

 

Les nombres complexes peuvent être décrits en termes de leur module et de leur argument. L'argument d'un nombre complexe est souvent déterminé à l'aide de la fonction arctangente (arctan), qui est particulièrement utile pour calculer l'angle associé au nombre complexe.

Exercice 1 : Calculer l'Argument

Énoncé : Trouvez l'argument du nombre complexe ( z = 1 + i ).

Solution :

1. Forme trigonométrique : Un nombre complexe ( z = a + bi ) peut être exprimé sous la forme ( z = r(\cos \theta + i\sin \theta) ) où ( r = \sqrt{a^2 + b^2} ) est le module et ( \theta ) l'argument.
2. Calcul du module :
   [
   r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
   ]
3. Calcul de l'argument :
   [
   \tan \theta = \frac{b}{a} = \frac{1}{1} = 1
   ]
   Ainsi, (\theta = \frac{\pi}{4}) ou 45°.

Conclusion : L'argument de ( z = 1 + i ) est (\theta = \frac{\pi}{4}).

Exercice 2 : Argument dans le Troisième Quadrant

Énoncé : Déterminez l'argument du nombre complexe ( z = -3 - 3i ).

Solution :

1. Forme trigonométrique :
   [
   r = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
   ]
2. Calcul de l'argument :
   [
   \tan \theta = \frac{-3}{-3} = 1
   ]
   Cela signifie (\theta = \frac{\pi}{4}). Cependant, comme (z) se trouve dans le troisième quadrant, nous devons ajouter (\pi).
3. [
   \theta = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}
   ]

Conclusion : L'argument de ( z = -3 - 3i ) est (\theta = \frac{5\pi}{4}).

Exercice 3 : Argument avec un Composant Imaginaire Nul

Énoncé : Quel est l'argument du nombre complexe ( z = -5 )?

Solution :

1. Forme trigonométrique :
   • Ici, ( a = -5 ) et ( b = 0 ).
2. Calcul de l'argument :
   • Puisque ( b = 0 ), (\tan \theta = 0). L'argument est donc (\theta = \pi) car le nombre est sur l'axe réel négatif.

Conclusion : L'argument de ( z = -5 ) est (\theta = \pi).

Exercice 4 : Argument avec Composant Réel Nul

Énoncé : Trouvez l'argument du nombre complexe ( z = 4i ).

Solution :

1. Forme trigonométrique :
   • Ici, ( a = 0 ) et ( b = 4 ).
2. Calcul de l'argument :
   • Puisque ( a = 0 ), l'argument est de (\frac{\pi}{2}) car le nombre est sur l'axe imaginaire positif.

Conclusion : L'argument de ( z = 4i ) est \

Exercice 5 : Utilisation de l'Arctangente pour Calculer l'Argument

Énoncé :

Calculez l'argument du nombre complexe ( z = 2 - 2i ).

Solution :

1. Forme trigonométrique :
   • Un nombre complexe ( z = a + bi ) peut être exprimé sous la forme ( z = r(\cos \theta + i\sin \theta) ), où ( r = \sqrt{a^2 + b^2} ) est le module et ( \theta ) l'argument.
2. Calcul du module :
3. [
   r = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
   ]
4. Calcul de l'argument :
5. [
   \tan \theta = \frac{b}{a} = \frac{-2}{2} = -1
   ]
6. L'utilisation de (\arctan(-1)) donne un angle de (-\frac{\pi}{4}). Cependant, comme ( z = 2 - 2i ) se trouve dans le quatrième quadrant, nous devons considérer l'angle positif, donc :
7. [
   \theta = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}
   ]

Conclusion :

L'argument de ( z = 2 - 2i ) est ( \theta = \frac{7\pi}{4} ).

Exercice 6 : Argument dans le Deuxième Quadrant

Énoncé :

Trouvez l'argument du nombre complexe ( z = -1 + \sqrt{3}i ).

Solution :

1. Forme trigonométrique :
   • Ici, ( a = -1 ) et ( b = \sqrt{3} ).
2. Calcul du module :
3. [
   r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2
   ]
4. Calcul de l'argument :
5. [
   \tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}
   ]
6. L'utilisation de (\arctan(-\sqrt{3})) donne un angle de (-\frac{\pi}{3}). Parce que le nombre complexe est dans le deuxième quadrant, l'angle est :
7. [
   \theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}
   ]

Conclusion :

L'argument de ( z = -1 + \sqrt{3}i ) est ( \theta = \frac{2\pi}{3} ).