Exercices Corrigés sur l'Argument d'un Nombre Complexe

Les nombres complexes jouent un rôle essentiel dans de nombreux domaines des mathématiques et des sciences. L'argument d'un nombre complexe est l'un des concepts fondamentaux associés à ces nombres. Voici quelques exercices corrigés pour vous aider à mieux comprendre comment déterminer l'argument d'un nombre complexe.

Exercice 1 : Calculer l'Argument

Énoncé :

Trouvez l'argument du nombre complexe ( z = 1 + i ).

Solution :

1. Forme trigonométrique :

2. Un nombre complexe ( z = a + bi ) peut être exprimé sous la forme ( z = r(\cos \theta + i\sin \theta) ) où ( r = \sqrt{a^2 + b^2} ) est le module et ( \theta ) l'argument.

3. Calcul du module :

4. [ r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} ]

5. Calcul de l'argument :

6. [ \tan \theta = \frac{b}{a} = \frac{1}{1} = 1 ] Ainsi, (\theta = \frac{\pi}{4}) ou 45°.

Conclusion :

L'argument de ( z = 1 + i ) est (\theta = \frac{\pi}{4}).

Exercice 2 : Argument dans le Troisième Quadrant

Énoncé :

Déterminez l'argument du nombre complexe ( z = -3 - 3i ).

Solution :

1. Forme trigonométrique :

2. [ r = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} ]

3. Calcul de l'argument :

4. [ \tan \theta = \frac{-3}{-3} = 1 ] Cela signifie (\theta = \frac{\pi}{4}). Cependant, comme (z) se trouve dans le troisième quadrant, nous devons ajouter (\pi).

5. [ \theta = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} ]

Conclusion :

L'argument de ( z = -3 - 3i ) est (\theta = \frac{5\pi}{4}).

Exercice 3 : Argument avec un Composant Imaginaire Nul

Énoncé :

Quel est l'argument du nombre complexe ( z = -5 )?

Solution :

1. Forme trigonométrique :

   • Ici, ( a = -5 ) et ( b = 0 ).

2. Calcul de l'argument :

   • Puisque ( b = 0 ), (\tan \theta = 0). L'argument est donc (\theta = \pi) car le nombre est sur l'axe réel négatif.

Conclusion :

L'argument de ( z = -5 ) est (\theta = \pi).

Exercice 4 : Argument avec Composant Réel Nul

Énoncé :

Trouvez l'argument du nombre complexe ( z = 4i ).

Solution :

1. Forme trigonométrique :

   • Ici, ( a = 0 ) et ( b = 4 ).

2. Calcul de l'argument :

   • Puisque ( a = 0 ), l'argument est de (\frac{\pi}{2}) car le nombre est sur l'axe imaginaire positif.

Conclusion : L'argument de ( z = 4i ) est </pre_context><post_context></post_context>

Exercices Corrigés sur l'Argument d'un Nombre Complexe (Suite)

Les exercices suivants vous aideront à consolider votre compréhension de l'argument des nombres complexes en différentes situations.

Exercice 5 : Argument avec Composant Réel Positif et Imaginaire Négatif

Énoncé :

Déterminez l'argument du nombre complexe ( z = 2 - 2i ).

Solution :

1. Forme trigonométrique :

   • Ici, ( a = 2 ) et ( b = -2 ).

   
   

2. Calcul du module :

   • [ r = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} ]

   
   

3. Calcul de l'argument :

   • [ \tan \theta = \frac{-2}{2} = -1 ] Cela signifie (\theta = -\frac{\pi}{4}) ou (-45^\circ). Cependant, comme ( z ) se trouve dans le quatrième quadrant, l'argument est (-\frac{\pi}{4}).

Conclusion :

L'argument de ( z = 2 - 2i ) est (\theta = -\frac{\pi}{4}).

Exercice 6 : Argument d'un Nombre Complexe Purément Imaginaire Négatif

Énoncé :

Quel est l'argument du nombre complexe ( z = -7i )?

Solution :

1. Forme trigonométrique :

   • Ici, ( a = 0 ) et ( b = -7 ).

2. Calcul de l'argument :

   • Puisque ( a = 0 ), l'argument est de (-\frac{\pi}{2}) car le nombre est sur l'axe imaginaire négatif.

Conclusion :

L'argument de ( z = -7i ) est (\theta = -\frac{\pi}{2}).

Ces exercices démontrent comment déterminer l'argument d'un nombre complexe en tenant compte de sa position dans le plan complexe. N'hésitez pas à pratiquer davantage pour renforcer vos compétences dans ce domaine