Affixe d'un Nombre Complexe

 

Les nombres complexes jouent un rôle fondamental en mathématiques et sont souvent utilisés pour représenter des phénomènes oscillatoires ou des transformations planes. L'affixe d'un nombre complexe est un concept clé pour comprendre leur représentation géométrique.

Qu'est-ce qu'un Nombre Complexe ?

Un nombre complexe est généralement noté sous la forme ( z = a + bi ), où ( a ) et ( b ) sont des nombres réels, et ( i ) est l'unité imaginaire, définie par ( i^2 = -1 ). Dans cette expression, ( a ) est la partie réelle et ( b ) est la partie imaginaire du nombre complexe.

Représentation dans le Plan Complexe

Un nombre complexe ( z = a + bi ) peut être représenté dans le plan complexe, également appelé plan d'Argand. Dans ce plan, l'axe horizontal représente la partie réelle et l'axe vertical représente la partie imaginaire. Chaque nombre complexe correspond donc à un point dans ce plan.

Définition de l'Affixe

L'affixe d'un nombre complexe est simplement les coordonnées du point correspondant dans le plan complexe. Ainsi, pour le nombre complexe ( z = a + bi ), l'affixe est le point ( (a, b) ).

Exemples d'Affixes

1. Nombre complexe : ( z = 3 + 4i )
   Affixe : ( (3, 4) )

2. Nombre complexe : ( z = -2 - 5i )
   Affixe : ( (-2, -5) )

3. Nombre complexe : ( z = 0 + 7i )
   Affixe : ( (0, 7) )

Utilisation de l'Affixe

L'affixe permet de visualiser facilement les opérations sur les nombres complexes, telles que l'addition et la multiplication. Par exemple, l'addition de deux nombres complexes correspond à l'addition de leurs affixes respectives, c'est-à-dire à la somme de leurs coordonnées dans le plan.

Addition de Nombres Complexes

Si ( z_1 = a_1 + b_1i ) et ( z_2 = a_2 + b_2i ), alors leur somme est :

[ z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i ]

Affixe de la somme : ( (a_1 + a_2, b_1 + b_2) )

Multiplication de Nombres Complexes

Pour la multiplication, le calcul est un peu plus complexe, mais l'affixe permet de comprendre la rotation et la dilatation dans le plan complexe.

Conclusion

L'affixe d'un nombre complexe est un outil essentiel pour la représentation géométrique des nombres complexes et facilite la compréhension des opérations et des transformations dans le plan complexe. Ce concept est fondamental pour aborder des domaines variés tels que l'analyse complexe, la physique, et l'ingénierie.