Les nombres complexes s'expriment sous la forme ( z = a + bi ), où ( a ) et ( b ) sont des nombres réels, et ( i ) est l'unité imaginaire, telle que ( i^2 = -1 ). Le plan complexe permet de représenter ces nombres sous forme de points ou de vecteurs.
Formule de l'Argument
L'argument d'un nombre complexe est l'angle que forme le vecteur représentant le nombre complexe avec l'axe des abscisses (réels positifs) dans le plan complexe. Il est généralement noté ( \arg(z) ).
Calcul de l'Argument
Pour calculer l'argument d'un nombre complexe ( z = a + bi ), on utilise la formule :
[ \arg(z) = \begin{cases} \arctan\left(\frac{b}{a}\right) & \text{si } a > 0 \ \arctan\left(\frac{b}{a}\right) + \pi & \text{si } a < 0 \text{ et } b \geq 0 \ \arctan\left(\frac{b}{a}\right) - \pi & \text{si } a < 0 \text{ et } b < 0 \ \frac{\pi}{2} & \text{si } a = 0 \text{ et } b > 0 \ -\frac{\pi}{2} & \text{si } a = 0 \text{ et } b < 0 \ \text{indéterminé} & \text{si } a = 0 \text{ et } b = 0 \end{cases} ]
Considérations Importantes
Unicité : L'argument d'un nombre complexe n'est pas unique; il est défini modulo ( 2\pi ). Cela signifie que si ( \theta ) est un argument de ( z ), alors ( \theta + 2k\pi ) est aussi un argument pour ( z ), où ( k ) est un entier.
Intervalle : Par convention, l'argument principal se situe généralement dans l'intervalle ((-π, π]).
Exemples de Calcul
Exemple 1 : Pour ( z = 1 + i )
( a = 1 ), ( b = 1 )
(\arg(z) = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4})
Exemple 2 : Pour ( z = -1 + i )
( a = -1 ), ( b = 1 )
(\arg(z) = \arctan\left(\frac{1}{-1}\right) + \pi = \frac{3\pi}{4})
Exemple 3 : Pour ( z = -1 - i )
( a = -1 ), ( b = -1 )
(\arg(z) = \arctan\left(\frac{-1}{-1}\right) - \pi = -\frac{3\pi}{4})
Ces exemples illustrent comment l'argument d'un nombre complexe peut être déterminé en fonction des valeurs de ( a ) et ( b ). En utilisant ces formules, on peut trouver l'orientation exacte d'un nombre complexe dans le plan complexe.
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