Exercice : Forme Trigonométrique d'un Nombre Complexe

 

Énoncé de l'Exercice

Considérons le nombre complexe ( z = 3 + 4i ). Nous allons exprimer ce nombre complexe sous sa forme trigonométrique.

Solution

Étape 1 : Calculer le Module

Le module ( |z| ) d'un nombre complexe ( z = a + bi ) est donné par :

[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} ]

Pour notre nombre complexe ( z = 3 + 4i ) :

[ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]

Étape 2 : Calculer l'Argument

L'argument ( \theta ) d'un nombre complexe est calculé à partir de la tangente :

[ \tan(\theta) = \frac{b}{a} ]

Pour notre nombre complexe ( z = 3 + 4i ) :

[ \tan(\theta) = \frac{4}{3} ]

Pour trouver ( \theta ), nous utilisons la fonction inverse de la tangente :

[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) ]

Utilisez une calculatrice pour trouver ( \theta \approx 0.93 ) radians ou environ ( 53.13^\circ ) degrés.

Étape 3 : Écrire la Forme Trigonométrique

La forme trigonométrique d'un nombre complexe est donnée par :

[ z = |z|(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) ]

Ainsi, pour notre nombre complexe ( z = 3 + 4i ) :

[ z = 5(\cos(0.93) + i\sin(0.93)) ]

Conclusion

Le nombre complexe ( z = 3 + 4i ) peut être exprimé sous sa forme trigonométrique comme :

[ z = 5\left(\cos(0.93) + i\sin(0.93)\right) ]

Ou, en degrés :

[ z = 5\left(\cos(53.13^\circ) + i\sin(53.13^\circ)\right) ]

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