Exercices sur les Nombres Complexes

 

Les nombres complexes sont une extension des nombres réels et sont très utiles dans divers domaines des mathématiques et de la physique. Voici quelques exercices pour pratiquer et comprendre les propriétés des nombres complexes.

Exercice 1 : Représentation et Opérations de Base

1. Représentation d'un nombre complexe
   Représentez le nombre complexe (z = 3 + 4i) graphiquement sur le plan complexe. Déterminez la partie réelle et la partie imaginaire.

2. Addition de nombres complexes
   Trouvez la somme des nombres complexes suivants :
   ( z_1 = 2 + 3i )
   ( z_2 = 4 + 5i )

3. Multiplication de nombres complexes
   Calculez le produit des nombres complexes suivants :
   ( z_1 = 1 + 2i )
   ( z_2 = 3 + 4i )

Exercice 2 : Module et Conjugué

1. Calcul du module
   Trouvez le module du nombre complexe ( z = 5 - 12i ).

2. Conjugué d'un nombre complexe
   Trouvez le conjugué du nombre complexe ( z = 7 + 9i ).

3. Produit avec le conjugué
   Calculez le produit du nombre complexe ( z = 2 + 3i ) avec son conjugué. Quel est le résultat?

Exercice 3 : Équations Complexes

1. Résolution d'une équation complexe
   Résolvez l'équation suivante pour ( z ):
   ( z^2 + 4z + 13 = 0 )

2. Équation avec module
   Trouvez les nombres complexes ( z ) tels que ( |z| = 5 ) et ( \text{Re}(z) = 3 ).

Exercice 4 : Forme Exponentielle

1. Conversion vers la forme exponentielle
   Convertissez le nombre complexe ( z = 1 + i ) en forme exponentielle.

2. Exploitation de la forme exponentielle
   Calculez ( z^n ) où ( z = e^{i\pi/3} ) et ( n = 6 ).

Ces exercices vous aideront à mieux comprendre la manipulation et les propriétés des nombres complexes à travers différentes opérations et transformations. Bonne chance!