Exercice sur les Nombres Complexes

 

Les nombres complexes sont une partie fondamentale des mathématiques avancées et sont souvent abordés dans les examens de type baccalauréat. Voici un exemple d'exercice pour vous aider à vous préparer.

Énoncé de l'Exercice

Soit ( z ) un nombre complexe tel que ( z = a + bi ), où ( a ) et ( b ) sont des réels, et ( i ) est l'unité imaginaire vérifiant ( i^2 = -1 ).

1. Calculer le module de ( z )
   Le module de ( z ), noté ( |z| ), est défini par la formule : [ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} ]

2. Déterminer l'argument de ( z )
   L'argument de ( z ), noté ( \arg(z) ), est l'angle ( \theta ) tel que : [ z = |z|(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) ] Calculer ( \theta ) en fonction de ( a ) et ( b ).

3. Trouver le conjugué de ( z )
   Le conjugué de ( z ), noté ( \overline{z} ), est donné par : [ \overline{z} = a - bi ]

4. Résoudre l'équation ( z^2 + 2z + 5 = 0 )
   Pour résoudre cette équation, utilisez la forme algébrique de ( z ).

Solution

1. Calcul du Module de ( z )
   Si ( z = 3 + 4i ), alors : [ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]

2. Détermination de l'Argument de ( z )
   Pour ( z = 3 + 4i ), nous avons : [ \tan(\theta) = \frac{b}{a} = \frac{4}{3} ] Donc, ( \theta ) est l'angle dont la tangente est ( \frac{4}{3} ). Utilisez une calculatrice pour trouver ( \theta ).

3. Conjugué de ( z )
   Pour ( z = 3 + 4i ), le conjugué est : [ \overline{z} = 3 - 4i ]

4. Résolution de l'Équation
   Pour ( z^2 + 2z + 5 = 0 ), utilisez la méthode suivante : [ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] avec ( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = 5 ). Calculez le discriminant et trouvez les solutions complexes.

Remarque

Cet exercice vous aide à revoir les concepts fondamentaux des nombres complexes. Il est important de bien comprendre chaque étape et de pratiquer régulièrement pour développer votre compréhension et votre compétence en mathématiques complexes.