Les Nombres Complexes et Leur Argument

 

Les nombres complexes sont une extension des nombres réels et sont très utiles dans divers domaines des mathématiques et de l'ingénierie. Un nombre complexe est généralement représenté sous la forme ( z = a + bi ), où ( a ) et ( b ) sont des nombres réels, et ( i ) est l'unité imaginaire, telle que ( i^2 = -1 ).

Représentation Géométrique

Sur le plan complexe, un nombre complexe ( z = a + bi ) peut être représenté par le point ((a, b)) ou par le vecteur ((a, b)) à partir de l'origine. Cette représentation permet d'utiliser la géométrie pour mieux comprendre les propriétés des nombres complexes.

Module et Argument

Module

Le module d'un nombre complexe ( z = a + bi ) est la distance de ( z ) à l'origine sur le plan complexe. Il est noté ( |z| ) et calculé par la formule :

[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} ]

Argument

L'argument d'un nombre complexe, noté ( \arg(z) ), est l'angle que fait le vecteur ((a, b)) avec l'axe réel positif. L'argument est généralement mesuré en radians et peut être déterminé à l'aide de la fonction tangente inverse :

[ \arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) ]

Il est important de noter que l'argument n'est pas unique, car ajouter ( 2\pi ) radians (ou 360 degrés) à un angle ne change pas sa direction. Ainsi, si ( \theta ) est un argument de ( z ), alors ( \theta + 2k\pi ) est également un argument de ( z ) pour tout entier ( k ).

Forme Trigonométrique

Un nombre complexe peut être exprimé sous sa forme trigonométrique (ou exponentielle) :

[ z = |z|(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) ]

où ( |z| ) est le module et ( \theta = \arg(z) ) est l'argument du nombre complexe. Cette représentation est particulièrement utile pour la multiplication et la division des nombres complexes.

Exemples

1. Calcul du module et de l'argument :

   Pour le nombre complexe ( z = 3 + 4i ), le module est :

   [ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 ]

   Et l'argument est :

   [ \arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) ]

2. Forme trigonométrique :

   Avec les valeurs calculées, la forme trigonométrique de ( z ) serait :

   [ z = 5\left(\cos(\arg(z)) + i\sin(\arg(z))\right) ]

Les nombres complexes et leur argument sont des concepts fondamentaux qui permettent d'explorer davantage le domaine fascinant des mathématiques et de l'ingénierie.