Exercices Corrigés d'Équations Logarithmiques

 

Les équations logarithmiques peuvent sembler complexes au premier abord, mais avec un peu de pratique, elles deviennent plus faciles à résoudre. Voici quelques exercices corrigés pour vous aider à vous familiariser avec ces types d'équations.

Exercice 1

Équation :
[ \log(x) + \log(x+4) = 1 ]

Solution :

1. Utiliser les propriétés des logarithmes :
   La somme de logarithmes peut être écrite comme le logarithme d'un produit :
   [ \log(x(x+4)) = 1 ]

2. Exprimer sous forme exponentielle :
   ( 10^1 = x(x+4) )
   [ 10 = x^2 + 4x ]

3. Résoudre l'équation quadratique :
   Réécrire l'équation :
   [ x^2 + 4x - 10 = 0 ]

   Utiliser la formule quadratique :
   [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
   où ( a = 1 ), ( b = 4 ), ( c = -10 ).

   [ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2} ]
   [ x = \frac{-4 \pm \sqrt{56}}{2} ]
   [ x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{14}}{2} ]
   [ x = -2 \pm \sqrt{14} ]

4. Vérification des solutions :
   Éliminer les solutions qui ne sont pas dans le domaine de la fonction logarithmique (x > 0).
   [ x = -2 + \sqrt{14} ] est la seule solution valide.

Exercice 2

Équation :
[ \log_2(x + 1) - \log_2(x - 1) = 3 ]

Solution :

1. Utiliser les propriétés des logarithmes :
   La différence de logarithmes peut être écrite comme le logarithme d'un quotient :
   [ \log_2\left(\frac{x+1}{x-1}\right) = 3 ]

2. Exprimer sous forme exponentielle :
   [ 2^3 = \frac{x+1}{x-1} ]
   [ 8 = \frac{x+1}{x-1} ]

3. Résoudre l'équation :
   [ 8(x-1) = x+1 ]
   [ 8x - 8 = x + 1 ]
   [ 7x = 9 ]
   [ x = \frac{9}{7} ]

4. Vérification de la solution :
   S'assurer que x est dans le domaine des logarithmes (x > 1).
   [ x = \frac{9}{7} ] est valide.

Ces exercices illustrent les étapes clés pour résoudre des équations logarithmiques. En pratiquant régulièrement, ces méthodes deviendront une seconde nature.