Exercices sur les Équations Logarithmiques

 

Les équations logarithmiques peuvent sembler intimidantes au début, mais avec de la pratique, elles deviennent de plus en plus faciles à résoudre. Voici quelques exercices pour vous aider à vous entraîner.

Exercice 1 : Résoudre une Équation Simple

Résolvez l'équation suivante :

[ \log(x) = 2 ]

Solution :

Pour résoudre cette équation, nous devons réécrire l'équation logarithmique sous sa forme exponentielle. Rappelez-vous que si (\log_b(x) = y), alors (b^y = x). Dans cet exemple, nous avons un logarithme en base 10 (logarithme décimal), donc :

[ 10^2 = x ]

[ x = 100 ]

Exercice 2 : Équation Logarithmique avec Addition

Résolvez l'équation suivante :

[ \log(x) + \log(2) = 3 ]

Solution :

Utilisons la propriété des logarithmes qui dit que (\log(a) + \log(b) = \log(ab)). Nous pouvons donc écrire :

[ \log(2x) = 3 ]

Ensuite, réécrivons cette équation sous forme exponentielle :

[ 10^3 = 2x ]

[ 1000 = 2x ]

Divisons chaque côté par 2 pour isoler (x) :

[ x = 500 ]

Exercice 3 : Équation Logarithmique avec Coefficient

Résolvez l'équation suivante :

[ 2\log(x) = 4 ]

Solution :

Divisons chaque côté de l'équation par 2 pour simplifier :

[ \log(x) = 2 ]

Comme dans l'exercice 1, réécrivons l'équation sous forme exponentielle :

[ 10^2 = x ]

[ x = 100 ]

Exercice 4 : Équation Logarithmique avec Différence

Résolvez l'équation suivante :

[ \log(x) - \log(5) = 1 ]

Solution :

Utilisons la propriété des logarithmes qui dit que (\log(a) - \log(b) = \log(\frac{a}{b})). Nous pouvons donc écrire :

[ \log\left(\frac{x}{5}\right) = 1 ]

Ensuite, réécrivons cette équation sous forme exponentielle :

[ 10^1 = \frac{x}{5} ]

[ 10 = \frac{x}{5} ]

En multipliant chaque côté par 5, nous obtenons :

[ x = 50 ]

Exercice 5 : Équation avec Deux Logarithmes

Résolvez l'équation suivante :

[ \log(x + 3) = \log(4x - 5) ]

Solution :

Lorsque les logarithmes de deux expressions sont égaux, les expressions elles-mêmes doivent être égales :

[ x + 3 = 4x - 5 ]

Résolvons cette équation :

[ 3 + 5 = 4x - x ]

[ 8 = 3x ]

Divisons chaque côté par 3 :

[ x = \frac{8}{3} ]

Ces exercices vous aideront à consolider votre compréhension des équations logarithmiques. N'hésitez pas à revenir sur les propriétés des logarithmes si vous avez besoin de réviser. Bonne chance !