Exercice sur les Logarithmes

 

Les logarithmes sont une partie essentielle des mathématiques avancées et sont souvent utilisés dans divers domaines scientifiques. Voici un exercice corrigé pour vous aider à mieux comprendre leur utilisation.

Énoncé de l'Exercice

Résolvez l'équation logarithmique suivante :

[ \log_2(x - 1) + \log_2(x + 3) = 3 ]

Solution

Pour résoudre cette équation, nous allons utiliser les propriétés des logarithmes.

Étape 1 : Utilisation de la propriété de somme des logarithmes

La somme de deux logarithmes avec la même base peut être combinée en un seul logarithme :

[ \log_2(x - 1) + \log_2(x + 3) = \log_2((x - 1)(x + 3)) ]

Ainsi, l'équation devient :

[ \log_2((x - 1)(x + 3)) = 3 ]

Étape 2 : Conversion en équation exponentielle

La définition d'un logarithme nous permet de convertir l'équation logarithmique en une équation exponentielle :

[ (x - 1)(x + 3) = 2^3 ]

[ (x - 1)(x + 3) = 8 ]

Étape 3 : Développement de l'équation

Développons le produit pour obtenir une équation quadratique :

[ x^2 + 3x - x - 3 = 8 ]

[ x^2 + 2x - 3 = 8 ]

Étape 4 : Résolution de l'équation quadratique

Soustrayons 8 des deux côtés pour obtenir :

[ x^2 + 2x - 11 = 0 ]

Nous allons résoudre cette équation quadratique en utilisant la formule quadratique :

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

où ( a = 1 ), ( b = 2 ), et ( c = -11 ).

[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \times 1 \times (-11)}}{2 \times 1} ]

[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 44}}{2} ]

[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{48}}{2} ]

[ x = \frac{-2 \pm 4\sqrt{3}}{2} ]

Étape 5 : Simplification

[ x = -1 \pm 2\sqrt{3} ]

Vérification des solutions

Nous devons vérifier que ces solutions sont valides dans le contexte du problème initial :

1. ( x = -1 + 2\sqrt{3} ) : Pour que le logarithme soit défini, ( x - 1 > 0 ) et ( x + 3 > 0 ). Cette solution satisfait ces conditions.

2. ( x = -1 - 2\sqrt{3} ) : Cette solution ne satisfait pas les conditions de positivité pour le logarithme.

Ainsi, la seule solution valide est :

[ x = -1 + 2\sqrt{3} ]

Conclusion

En résolvant cette équation logarithmique, nous avons utilisé diverses propriétés des logarithmes et des techniques de résolution d'équations quadratiques. Cela nous a permis de trouver que la solution de l'équation est ( x = -1 + 2\sqrt{3} ).