Exercices Corrigés sur les Fonctions Logarithme et Exponentielle

 

Les fonctions logarithmiques et exponentielles sont fondamentales en mathématiques et en sciences. Voici quelques exercices corrigés pour vous aider à mieux comprendre ces concepts.

Exercice 1 : Calculer le Logarithme

Énoncé :
Calculez les valeurs suivantes :

1. (\ln(1))

2. (\ln(e^3))

3. (\log_{10}(1000))

Solution :

1. (\ln(1) = 0)

   • Parce que le logarithme naturel de 1 est toujours 0.

2. (\ln(e^3) = 3)

   • Selon la propriété du logarithme: (\ln(e^x) = x).

3. (\log_{10}(1000) = 3)

   • Car (1000 = 10^3), donc (\log_{10}(1000) = \log_{10}(10^3) = 3).

Exercice 2 : Résoudre une Équation Exponentielle

Énoncé :
Résoudre l'équation suivante pour (x) :
[ e^{2x} = 10 ]

Solution :

1. Prenons le logarithme naturel de chaque côté de l'équation :
   (\ln(e^{2x}) = \ln(10)).

2. Appliquons la propriété des logarithmes :
   (2x = \ln(10)).

3. Résolvons pour (x) :
   (x = \frac{\ln(10)}{2}).

   • En utilisant une calculatrice, (\ln(10) \approx 2.302), donc :
     (x \approx \frac{2.302}{2} \approx 1.151).

Exercice 3 : Comprendre les Propriétés de l'Exponential

Énoncé :
Simplifiez l'expression suivante :
[ e^{\ln(5)} \times e^{\ln(2)} ]

Solution :

1. Utilisons la propriété de l'exponential :
   (e^{\ln(a)} = a).

2. Donc, (e^{\ln(5)} = 5) et (e^{\ln(2)} = 2).

3. Multiplions les résultats :
   (5 \times 2 = 10).

La simplification de l'expression est donc 10.

Exercice 4 : Résoudre une Équation Logarithmique

Énoncé :
Résoudre pour (x) :
[ \log_{2}(x) = 3 ]

Solution :

1. Convertissons l'équation logarithmique en forme exponentielle :
   (x = 2^3).

2. Calculons la puissance :
   (x = 8).

Ainsi, la solution est (x = 8).

Ces exercices vous fourniront une pratique précieuse avec les fonctions logarithmiques et exponentielles. Assurez-vous de bien comprendre les propriétés et les méthodes utilisées ici, car elles sont essentielles pour résoudre ces types de problèmes.