Exercices Corrigés sur les Équations Fonctionnelles

 

Les équations fonctionnelles sont des équations dans lesquelles les inconnues sont des fonctions plutôt que des nombres. Ces exercices vous aideront à comprendre et à résoudre ce type d'équations.

Exercice 1 : Fonction Linéaire

Considérons l'équation fonctionnelle suivante : [ f(x + y) = f(x) + f(y) ]

Solution :

1. Hypothèse : Supposons que ( f(x) = cx ) où ( c ) est une constante.

2. Vérification : Calculons ( f(x + y) ) et ( f(x) + f(y) ).

   • ( f(x + y) = c(x + y) = cx + cy )

   • ( f(x) + f(y) = cx + cy )

3. Les deux expressions sont égales, donc ( f(x) = cx ) est une solution.

Conclusion : La solution générale est une fonction linéaire de la forme ( f(x) = cx ).

Exercice 2 : Fonction Quadratique

Considérons l'équation fonctionnelle suivante : [ f(x+y) + f(x-y) = 2f(x) + 2f(y) ]

Solution :

1. Hypothèse : Supposons que ( f(x) = ax^2 ) où ( a ) est une constante.

2. Vérification : Calculons ( f(x+y) + f(x-y) ).

   • ( f(x+y) = a(x+y)^2 = ax^2 + 2axy + ay^2 )

   • ( f(x-y) = a(x-y)^2 = ax^2 - 2axy + ay^2 )

   • ( f(x+y) + f(x-y) = ax^2 + 2axy + ay^2 + ax^2 - 2axy + ay^2 = 2ax^2 + 2ay^2 )

3. Calculons ( 2f(x) + 2f(y) ).

   • ( 2f(x) = 2ax^2 )

   • ( 2f(y) = 2ay^2 )

   • ( 2f(x) + 2f(y) = 2ax^2 + 2ay^2 )

4. Les deux expressions sont égales, donc ( f(x) = ax^2 ) est une solution.

Conclusion : La solution générale est une fonction quadratique de la forme ( f(x) = ax^2 ).

Exercice 3 : Fonction Exponentielle

Considérons l'équation fonctionnelle suivante : [ f(x+y) = f(x)f(y) ]

Solution :

1. Hypothèse : Supposons que ( f(x) = e^{kx} ) où ( k ) est une constante.

2. Vérification : Calculons ( f(x+y) ) et ( f(x)f(y) ).

   • ( f(x+y) = e^{k(x+y)} = e^{kx}e^{ky} )

   • ( f(x)f(y) = e^{kx}e^{ky} )

3. Les deux expressions sont égales, donc ( f(x) = e^{kx} ) est une solution.

Conclusion : La solution générale est une fonction exponentielle de la forme ( f(x) = e^{kx} ).

Ces exercices illustrent comment aborder et résoudre des équations fonctionnelles en utilisant des hypothèses sur la forme de la fonction. N'hésitez pas à adapter ces méthodes à d'autres types d'équations fonctionnelles.