Les fonctions quadratiques sont souvent exprimées sous la forme canonique, qui est utile pour identifier le sommet de la parabole et pour analyser le comportement de la fonction. La forme canonique d'une fonction quadratique est donnée par :
[ f(x) = a(x-h)^2 + k ]
où ((h, k)) est le sommet de la parabole.
Exercice 1 : Identifier le Sommet
Énoncé : Pour chaque fonction quadratique donnée ci-dessous, identifiez les coordonnées du sommet.
( f(x) = 2(x-3)^2 + 5 )
( g(x) = -1(x+4)^2 + 2 )
( h(x) = 0.5(x-1)^2 - 3 )
Solution :
(f(x)) : Le sommet est ((h, k) = (3, 5)).
(g(x)) : Le sommet est ((h, k) = (-4, 2)).
(h(x)) : Le sommet est ((h, k) = (1, -3)).
Exercice 2 : Conversion en Forme Canonique
Énoncé : Convertissez les fonctions quadratiques suivantes de la forme développée ( ax^2 + bx + c ) en forme canonique.
( f(x) = x^2 + 6x + 8 )
( g(x) = 2x^2 - 4x + 1 )
Solution :
(f(x)) :
Compléter le carré : ( f(x) = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 8 )
Forme canonique : ( f(x) = (x+3)^2 - 1 )
(g(x)) :
Compléter le carré : ( g(x) = 2(x^2 - 2x + 1) - 2 + 1 )
Forme canonique : ( g(x) = 2(x-1)^2 - 1 )
Exercice 3 : Graphique de la Fonction
Énoncé : Dessinez le graphique des fonctions suivantes et identifiez les points clés (sommet, intercepts avec l'axe des ordonnées).
( f(x) = 3(x-2)^2 + 4 )
( g(x) = -0.5(x+5)^2 + 6 )
Solution :
(f(x)) :
Sommet : ((2, 4))
Intercept avec l'axe des ordonnées : Calculer (f(0)) : ( f(0) = 3(0-2)^2 + 4 = 16 )
Le graphique est une parabole ouverte vers le haut.
(g(x)) :
Sommet : ((-5, 6))
Intercept avec l'axe des ordonnées : Calculer (g(0)) : ( g(0) = -0.5(0+5)^2 + 6 = -6.5 + 6 = -0.5 )
Le graphique est une parabole ouverte vers le bas.
Ces exercices vous aideront à mieux comprendre et manipuler les fonctions quadratiques sous forme canonique. N'oubliez pas de vérifier vos calculs et de pratiquer régulièrement pour renforcer vos compétences en algèbre quadratique.
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