Exercices sur les Équations Fonctionnelles

Les équations fonctionnelles sont des équations où les inconnues sont des fonctions. Voici quelques exercices supplémentaires pour vous aider à pratiquer et approfondir votre compréhension de ce concept mathématique.

Exercice 2 : Équation fonctionnelle avec transformation

Considérez l'équation fonctionnelle suivante :

[ f(x) = g(x) ]

Question : Trouvez toutes les fonctions ( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} ) et ( g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} ) qui satisfont cette équation.

Piste de solution :

• Réfléchissez à des fonctions courantes comme les fonctions linéaires ou exponentielles.

• Considérez si ( f(x) ) et ( g(x) ) peuvent être identiques sous certaines conditions ou transformations.

• Examinez les caractéristiques des fonctions pour voir si elles peuvent être égales pour tous les ( x ).

Exercice 3 : Équation fonctionnelle avec produit

Considérez l'équation fonctionnelle suivante :

[ f(x \cdot y) = f(x) \cdot f(y) ]

Question : Trouvez toutes les fonctions ( f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ ) qui satisfont cette équation.

Piste de solution :

• Pensez à la fonction exponentielle et comment elle se comporte sous les opérations de produit.

• Testez des valeurs spécifiques pour ( x ) et ( y ) pour voir si une structure émerge.

• Envisagez des solutions où ( f(x) ) pourrait être une fonction de puissance.

Ces exercices vous aideront à vous familiariser avec les différentes approches pour résoudre des équations fonctionnelles. N'hésitez pas à explorer d'autres types de fonctions qui pourraient correspondre aux critères donnés.