Exercices sur les Intégrales

Les intégrales sont un concept fondamental en calcul qui permet de déterminer l'aire sous une courbe, entre autres applications. Voici quelques exercices pour pratiquer ce concept :

Exercice 1 : Intégrale d'une fonction polynomiale

Calculez l'intégrale suivante :

[ \int (3x^2 + 2x + 1) , dx ]

Solution :

Pour intégrer un polynôme, intégrez chaque terme séparément :

[ \int 3x^2 , dx = x^3 + C_1 ] [ \int 2x , dx = x^2 + C_2 ] [ \int 1 , dx = x + C_3 ]

Combinez les résultats :

[ \int (3x^2 + 2x + 1) , dx = x^3 + x^2 + x + C ]

où ( C = C_1 + C_2 + C_3 ).

Exercice 2 : Intégrale définie d'une fonction exponentielle

Calculez l'intégrale définie suivante :

[ \int_{0}^{1} e^x , dx ]

Solution :

La primitive de ( e^x ) est ( e^x ), donc :

[ \int_{0}^{1} e^x , dx = \left[ e^x \right]_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1 ]

Exercice 3 : Intégrale d'une fonction trigonometrique

Calculez l'intégrale suivante :

[ \int \sin(x) , dx ]

Solution :

La primitive de ( \sin(x) ) est :

[ -\cos(x) + C ]

Exercice 4 : Intégrale par parties

Utilisez la méthode de l'intégration par parties pour calculer :

[ \int x e^x , dx ]

Solution :

Rappelons la formule d'intégration par parties : ( \int u , dv = uv - \int v , du ).

Choisissez ( u = x ) et ( dv = e^x , dx ), donc ( du = dx ) et ( v = e^x ).

Appliquez la formule :

[ \int x e^x , dx = x e^x - \int e^x , dx = x e^x - e^x + C ]

Exercice 5 : Intégrale d'une fonction rationnelle

Calculez l'intégrale suivante :

[ \int \frac{1}{x^2 + 1} , dx ]

Solution :

La fonction ( \frac{1}{x^2 + 1} ) est la dérivée de l'arc tangente, donc :

[ \int \frac{1}{x^2 + 1} , dx = \arctan(x) + C ]

Ces exercices vous aideront à renforcer votre compréhension des intégrales et des différentes techniques d'intégration. N'hésitez pas à essayer de les résoudre par vous-même pour tester vos compétences 

Exercice 6 : Équation fonctionnelle simple

Considérez l'équation fonctionnelle suivante :

[ f(x + y) = f(x) + f(y) ]

Question

Trouvez toutes les fonctions ( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} ) qui satisfont cette équation.

Piste de solution

• Essayez de déterminer la valeur de ( f(0) ) en substituant ( y = 0 ) dans l'équation.

• Considérez des valeurs spécifiques pour ( x ) et ( y ), comme ( x = y ), pour explorer des cas particuliers.

• Vérifiez si la fonction linéaire ( f(x) = cx ) pour une constante ( c ) satisfait l'équation.

Étapes pour la résolution

1. Substituer ( y = 0 ) :

   En substituant ( y = 0 ) dans l'équation ( f(x + 0) = f(x) + f(0) ), on obtient ( f(x) = f(x) + f(0) ). Cela implique que ( f(0) = 0 ).

2. Considérer la fonction linéaire :

   Essayons ( f(x) = cx ) où ( c ) est une constante.

   • Substituons dans l'équation : ( f(x+y) = c(x+y) = cx + cy ).

   • À droite de l'équation fonctionnelle, ( f(x) + f(y) = cx + cy ).

   • Les deux côtés de l'équation sont égaux, donc ( f(x) = cx ) est une solution.

   
   

3. Vérifier l'unicité :

   Pour montrer que ( f(x) = cx ) est la seule solution, supposons qu'il existe une autre fonction ( g(x) ) qui satisfait l'équation. En utilisant les mêmes substitutions, on peut montrer que ( g(x) = g(1)x ) pour tout ( x \in \mathbb{R} ), ce qui prouve que la forme ( f(x) = cx ) est universelle.

Ainsi, les fonctions qui satisfont l'équation fonctionnelle sont toutes de la forme linéaire ( f(x) = cx ) où ( c ) est une constante réelle.