Les fonctions quadratiques, ou polynômes du second degré, sont des expressions de la forme ( f(x) = ax^2 + bx + c ), où ( a ), ( b ), et ( c ) sont des constantes et ( a \neq 0 ). Voici quelques exercices pour vous aider à pratiquer et à comprendre les propriétés des fonctions quadratiques.
Exercice 1 : Identification des Paramètres
Pour chaque fonction quadratique suivante, identifiez les valeurs de ( a ), ( b ), et ( c ).
( f(x) = 3x^2 + 5x - 2 )
( f(x) = -2x^2 + 4x + 1 )
( f(x) = x^2 - 6x + 9 )
Solution:
( a = 3 ), ( b = 5 ), ( c = -2 )
( a = -2 ), ( b = 4 ), ( c = 1 )
( a = 1 ), ( b = -6 ), ( c = 9 )
Exercice 2 : Calcul du Sommet
Le sommet d'une parabole donnée par une fonction quadratique peut être trouvé en utilisant la formule du sommet ((h, k)), où ( h = -\frac{b}{2a} ) et ( k = f(h) ).
Calculez le sommet des paraboles pour les fonctions suivantes :
( f(x) = 2x^2 + 8x + 3 )
( f(x) = -x^2 + 2x + 4 )
Solution:
( h = -\frac{8}{2 \times 2} = -2 ), donc ( k = f(-2) = 2(-2)^2 + 8(-2) + 3 = -5 ). Sommet : ((-2, -5)).
( h = -\frac{2}{2 \times (-1)} = 1 ), donc ( k = f(1) = -(1)^2 + 2(1) + 4 = 5 ). Sommet : ((1, 5)).
Exercice 3 : Zéros de la Fonction
Trouver les zéros des fonctions quadratiques suivantes en résolvant ( ax^2 + bx + c = 0 ).
( f(x) = x^2 - 4x + 3 )
( f(x) = 3x^2 + x - 2 )
Solution:
Factorizons : ( (x-3)(x-1) = 0 ). Les zéros sont ( x = 3 ) et ( x = 1 ).
Utilisons la formule quadratique : ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ). Les solutions sont ( x = 1 ) et ( x = -\frac{2}{3} ).
Exercice 4 : Graphique de la Fonction
Pour chaque fonction quadratique ci-dessous, esquissez le graphique et identifiez les caractéristiques suivantes : direction de la parabole, sommet, zéros.
( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 )
( f(x) = -x^2 + 6x - 8 )
Conseils:
Si ( a > 0 ), la parabole s'ouvre vers le haut. Si ( a < 0 ), elle s'ouvre vers le bas.
Utilisez les méthodes des exercices précédents pour calculer le sommet et les zéros.
Exercice 5 : Identifier les Coefficients
Considérez la fonction quadratique suivante :
[ f(x) = 3x^2 - 5x + 2 ]
Question : Identifiez les coefficients ( a ), ( b ), et ( c ).
Réponse attendue :
( a = 3 )
( b = -5 )
( c = 2 )
Exercice 6 : Calculer le Sommet
Pour la fonction ( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 ), calculez les coordonnées du sommet de la parabole.
Solution :
Le sommet d'une parabole donnée par ( ax^2 + bx + c ) a pour coordonnées ( (h, k) ) où :
[ h = -\frac{b}{2a} ]
[ k = f(h) ]
Calculez ( h ) et ensuite ( k ) pour obtenir les coordonnées du sommet.
Exercice 7 : Trouver les Zéros
Trouvez les zéros de la fonction quadratique suivante :
[ f(x) = x^2 - 6x + 9 ]
Instructions :
Facteurisez l'équation si possible.
Utilisez la formule quadratique si nécessaire :
[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
Exercice 8 : Graphique d'une Fonction Quadratique
Tracez le graphique de la fonction ( f(x) = -x^2 + 4x - 3 ).
Questions :
Quelle est la forme du graphique ?
Où se trouve le sommet ?
Quelles sont les intersections avec les axes ?
Exercice 9 : Comparaison de Fonctions
Comparez les fonctions quadratiques suivantes :
( f(x) = x^2 + 2x + 1 )
( g(x) = -x^2 + 2x + 1 )
Question : Comment la concavité des graphes de ( f(x) ) et ( g(x) ) diffère-t-elle ?
Réponse attendue :
( f(x) ) est concave vers le haut (ouverture vers le haut).
( g(x) ) est concave vers le bas (ouverture vers le bas).
Exercice 10 : Applications Pratiques
Une balle est lancée dans les airs, et sa hauteur après ( t ) secondes est donnée par la fonction :
[ h(t) = -5t^2 + 20t + 1 ]
Questions :
Quelle est la hauteur maximale atteinte par la balle ?
Après combien de secondes la balle atteint-elle cette hauteur ?
Instructions :
Utilisez les formules pour le sommet d'une parabole pour résoudre ces questions.
Ces exercices vous aideront à mieux comprendre et maîtriser les fonctions quadratiques. N'hésitez pas à demander des éclaircissements si vous en avez besoin !
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