Exercices sur les Fonctions Exponentielles

 

Les fonctions exponentielles sont essentielles en mathématiques et apparaissent dans de nombreux domaines tels que la biologie, l'économie et la physique. Voici quelques exercices pour vous aider à comprendre et à maîtriser ce concept.

Exercice 1: Évaluer une Fonction Exponentielle

Évaluez la fonction exponentielle suivante pour ( x = 1, 2, 3 ):

[ f(x) = 2^x ]

Solution

• Pour ( x = 1 ):
  ( f(1) = 2^1 = 2 )

• Pour ( x = 2 ):
  ( f(2) = 2^2 = 4 )

• Pour ( x = 3 ):
  ( f(3) = 2^3 = 8 )

Exercice 2: Résoudre une Équation Exponentielle

Résolvez l'équation suivante pour ( x ):

[ 3^x = 81 ]

Solution

Pour résoudre cette équation, nous devons exprimer 81 comme une puissance de 3:

[ 81 = 3^4 ]

Ainsi, nous avons:

[ 3^x = 3^4 ]

En comparant les exposants, nous obtenons ( x = 4 ).

Exercice 3: Propriétés des Exponentielles

Démontrer que:

[ a^{m+n} = a^m \times a^n ]

Solution

Selon la définition des puissances:

[ a^{m+n} = a \times a \times \ldots \text{ (m+n fois)} ]

Cela peut être réécrit comme:

[ (a \times a \times \ldots \text{ (m fois)}) \times (a \times a \times \ldots \text{ (n fois)}) = a^m \times a^n ]

Ainsi, nous avons démontré que ( a^{m+n} = a^m \times a^n ).

Exercice 4: Croissance Exponentielle

Supposons qu'une population bactérienne double toutes les 3 heures. Si la population initiale est de 200 bactéries, combien de bactéries y aura-t-il après 9 heures?

Solution

La fonction de croissance exponentielle est donnée par:

[ P(t) = P_0 \times 2^{t/T} ]

Où:

• ( P_0 = 200 ) (population initiale)

• ( T = 3 ) (temps de doublement)

• ( t = 9 ) (temps écoulé)

[ P(9) = 200 \times 2^{9/3} = 200 \times 2^3 = 200 \times 8 = 1600 ]

Après 9 heures, il y aura 1600 bactéries.

Exercice 5: Décroissance Exponentielle

Un isotope radioactif a une demi-vie de 5 ans. Si vous commencez avec 100 grammes de cet isotope, combien en restera-t-il après 15 ans?

Solution

La formule de décroissance exponentielle est:

[ N(t) = N_0 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T} ]

Où:

• ( N_0 = 100 ) grammes

• ( T = 5 ) ans (demi-vie)

• ( t = 15 ) ans

[ N(15) = 100 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{15/5} = 100 \times \left( \frac{1}{2} \right)^3 = 100 \times \frac{1}{8} = 12.5 ]

Il restera 12,5 grammes de l'isotope après 15 ans