Exercices sur les Intégrales avec Changement de Variable

 

Le changement de variable est une technique puissante pour simplifier le calcul des intégrales. Voici quelques exercices pour pratiquer cette méthode.

Exercice 1 : Intégrale Simple

Calculez l'intégrale suivante en utilisant un changement de variable approprié :

[ \int (3x^2 + 2x) \cdot e^{x^3 + x^2} , dx ]

Solution

1. Choix de la variable de substitution :
   On pose ( u = x^3 + x^2 ).

2. Calcul de la dérivée de substitution :
   [ \frac{du}{dx} = 3x^2 + 2x ]
   Donc, ( du = (3x^2 + 2x) , dx ).

3. Réécriture de l'intégrale :
   [ \int e^u , du ]

4. Calcul de l'intégrale :
   [ \int e^u , du = e^u + C ]

5. Retour à la variable originale :
   [ e^{x^3 + x^2} + C ]

Exercice 2 : Intégrale Trigonométrique

Calculez l'intégrale suivante :

[ \int x \cdot \cos(x^2) , dx ]

Solution

1. Choix de la variable de substitution :
   On pose ( u = x^2 ).

2. Calcul de la dérivée de substitution :
   [ \frac{du}{dx} = 2x ]
   Donc, ( \frac{1}{2} du = x , dx ).

3. Réécriture de l'intégrale :
   [ \frac{1}{2} \int \cos(u) , du ]

4. Calcul de l'intégrale :
   [ \frac{1}{2} \sin(u) + C ]

5. Retour à la variable originale :
   [ \frac{1}{2} \sin(x^2) + C ]

Exercice 3 : Intégrale avec Fonction Racine

Calculez l'intégrale suivante :

[ \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} , dx ]

Solution

1. Choix de la variable de substitution :
   On pose ( u = x^2 + 1 ).

2. Calcul de la dérivée de substitution :
   [ \frac{du}{dx} = 2x ]
   Donc, ( \frac{1}{2} du = x , dx ).

3. Réécriture de l'intégrale :
   [ \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} , du ]

4. Calcul de l'intégrale :
   [ \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{u} + C = \sqrt{u} + C ]

5. Retour à la variable originale :
   [ \sqrt{x^2 + 1} + C ]

Ces exercices illustrent comment le changement de variable peut simplifier le calcul d'intégrales complexes. Pratiquez ces techniques pour renforcer votre compréhension et améliorer vos compétences en calcul intégral.