Exercices sur les Intégrales Multiples

 

Les intégrales multiples sont un concept fondamental en calcul multivarié, utilisé pour calculer des volumes, des aires et d'autres quantités dans des espaces de dimensions supérieures. Voici quelques exercices pour vous aider à comprendre et à maîtriser les intégrales multiples.

Exercice 1 : Intégrale Double

Calculez l'intégrale double suivante sur la région ( R ) :

[ \iint_R (x + y) , dx , dy ]

Région ( R ) : Le carré délimité par ( 0 \leq x \leq 1 ) et ( 0 \leq y \leq 1 ).

Solution

1. Définir la région d'intégration :

   La région ( R ) est un carré dans le plan ( xy ) avec les bornes ( x = 0 ) à ( x = 1 ) et ( y = 0 ) à ( y = 1 ).

2. Écrire l'intégrale :

   [ \iint_R (x + y) , dx , dy = \int_0^1 \int_0^1 (x + y) , dx , dy ]

3. Calculer l'intégrale intérieure :

   [ \int_0^1 (x + y) , dx = \int_0^1 x , dx + \int_0^1 y , dx ]

   [ = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 + \left[ yx \right]_0^1 ]

   [ = \frac{1}{2} + y ]

4. Calculer l'intégrale extérieure :

   [ \int_0^1 \left( \frac{1}{2} + y \right) , dy = \int_0^1 \frac{1}{2} , dy + \int_0^1 y , dy ]

   [ = \left[ \frac{y}{2} \right]_0^1 + \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^1 ]

   [ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 ]

Ainsi, la valeur de l'intégrale double est 1.

Exercice 2 : Intégrale Triple

Calculez l'intégrale triple suivante sur la région ( T ) :

[ \iiint_T xyz , dx , dy , dz ]

Région ( T ) : Le cube délimité par ( 0 \leq x \leq 1 ), ( 0 \leq y \leq 1 ), et ( 0 \leq z \leq 1 ).

Solution

1. Écrire l'intégrale :

   [ \iiint_T xyz , dx , dy , dz = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 xyz , dx , dy , dz ]

2. Calculer l'intégrale intérieure :

   [ \int_0^1 xyz , dx = \int_0^1 x , dx \cdot yz ]

   [ = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 \cdot yz ]

   [ = \frac{1}{2} yz ]

3. Calculer l'intégrale intermédiaire :

   [ \int_0^1 \frac{1}{2} yz , dy = \frac{1}{2} z \int_0^1 y , dy ]

   [ = \frac{1}{2} z \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^1 ]

   [ = \frac{1}{4} z ]

4. Calculer l'intégrale extérieure :

   [ \int_0^1 \frac{1}{4} z , dz = \frac{1}{4} \int_0^1 z , dz ]

   [ = \frac{1}{4} \left[ \frac{z^2}{2} \right]_0^1 ]

   [ = \frac{1}{8} ]

Ainsi, la valeur de l'intégrale triple est (\frac{1}{8}).

Ces exercices illustrent comment aborder les intégrales multiples en décomposant le problème en étapes successives. Pratiquez avec différentes régions et fonctions pour renforcer votre compréhension.