Exercices sur les Exposants

 

Les exposants sont un concept fondamental en mathématiques qui permettent de simplifier l'écriture des multiplications répétées du même nombre. Voici quelques exercices pour vous aider à maîtriser les règles des exposants.

Règles des Exposants

Avant de commencer les exercices, rappelons quelques règles de base :

1. Multiplication des puissances de même base :
   ( a^m \times a^n = a^{m+n} )

2. Division des puissances de même base :
   ( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} )

3. Puissance d'une puissance :
   ( (a^m)^n = a^{m \times n} )

4. Puissance d'un produit :
   ( (ab)^n = a^n \times b^n )

5. Puissance de zéro :
   ( a^0 = 1 ) (pour ( a \neq 0 ))

6. Puissance de un :
   ( a^1 = a )

Exercices Pratiques

Exercice 1 : Simplification

Simplifiez les expressions suivantes :

1. ( 3^4 \times 3^2 )

2. ( \frac{5^7}{5^3} )

3. ( (2^3)^4 )

4. ( (4 \times 5)^2 )

Exercice 2 : Calculs Numériques

Calculez les valeurs numériques des expressions suivantes :

1. ( 2^5 )

2. ( 10^3 \times 10^2 )

3. ( \frac{9^4}{9^2} )

4. ( (7^2)^3 )

Exercice 3 : Applications Pratiques

1. Si la population d'une ville double tous les dix ans, exprimez la population après 30 ans en termes de la population initiale ( P ).

2. En physique, la formule de l'énergie cinétique est donnée par ( KE = \frac{1}{2}mv^2 ). Si la vitesse ( v ) est doublée, comment l'énergie cinétique change-t-elle ?

Solutions

Solutions Exercice 1

1. ( 3^4 \times 3^2 = 3^{4+2} = 3^6 )

2. ( \frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4 )

3. ( (2^3)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12} )

4. ( (4 \times 5)^2 = 4^2 \times 5^2 = 16 \times 25 = 400 )

Solutions Exercice 2

1. ( 2^5 = 32 )

2. ( 10^3 \times 10^2 = 10^{3+2} = 10^5 = 100000 )

3. ( \frac{9^4}{9^2} = 9^{4-2} = 9^2 = 81 )

4. ( (7^2)^3 = 7^{2 \times 3} = 7^6 = 117649 )

Solutions Exercice 3

1. Population après 30 ans : ( P \times 2^{30/10} = P \times 2^3 = P \times 8 )

2. Si la vitesse ( v ) est doublée, ( KE = \frac{1}{2}m(2v)^2 = \frac{1}{2}m \times 4v^2 = 4(\frac{1}{2}mv^2) ). L'énergie cinétique quadruple.

J'espère que ces exercices vous aideront à mieux comprendre les exposants et à appliquer ces règles dans divers contextes !