Exercices sur les Intégrales Généralisées

 

Les intégrales généralisées, également connues sous le nom d'intégrales impropres, sont utilisées lorsque nous intégrons sur des intervalles infinis ou lorsque la fonction à intégrer présente des discontinuités. Voici quelques exercices pour vous aider à comprendre et maîtriser ce concept.

Exercice 1 : Intégrale sur un Intervalle Infini

Énoncé :

Calculez l'intégrale suivante :

[ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} , dx ]

Solution :

Pour résoudre cette intégrale, nous devons d'abord réécrire l'intégrale impropre comme une limite :

[ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} , dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x^2} , dx ]

Calculez l'intégrale définie :

[ \int \frac{1}{x^2} , dx = -\frac{1}{x} + C ]

Appliquez les bornes :

[ \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{b} + \frac{1}{1} \right] = \lim_{b \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{b} \right) = 1 ]

Donc, l'intégrale converge et vaut 1.

Exercice 2 : Intégrale avec une Discontinuité

Énoncé :

Calculez l'intégrale suivante :

[ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} , dx ]

Solution :

Réécrivons l'intégrale impropre :

[ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} , dx = \lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} , dx ]

Calculez l'intégrale définie :

[ \int \frac{1}{\sqrt{x}} , dx = 2\sqrt{x} + C ]

Appliquez les bornes :

[ \lim_{a \to 0^+} \left[ 2\sqrt{1} - 2\sqrt{a} \right] = \lim_{a \to 0^+} \left( 2 - 2\sqrt{a} \right) = 2 ]

Ainsi, l'intégrale converge et vaut 2.

Exercice 3 : Intégrale Divergente

Énoncé :

Calculez l'intégrale suivante :

[ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} , dx ]

Solution :

Réécrivons l'intégrale impropre :

[ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} , dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x} , dx ]

Calculez l'intégrale définie :

[ \int \frac{1}{x} , dx = \ln|x| + C ]

Appliquez les bornes :

[ \lim_{b \to \infty} \left[ \ln b - \ln 1 \right] = \lim_{b \to \infty} \ln b = \infty ]

Cette intégrale diverge donc.

Conclusion

Ces exercices montrent comment traiter différentes situations d'intégrales généralisées. Il est essentiel de déterminer si l'intégrale converge ou diverge en évaluant les limites de façon appropriée. Assurez-vous de bien comprendre chaque étape pour appliquer ces techniques à d'autres problèmes de calcul intégral.