Exercices sur les Intégrales pour la Terminale

 

Les intégrales sont une partie essentielle du programme de mathématiques en Terminale. Elles permettent de calculer l'aire sous une courbe, parmi d'autres applications. Voici quelques exercices pour vous aider à maîtriser ce concept.

Exercice 1 : Calcul d'une intégrale simple

Calculez l'intégrale suivante :

[ \int_{0}^{2} (3x^2 + 2x + 1) , dx ]

Solution :

Pour résoudre cette intégrale, nous devons d'abord trouver la primitive de la fonction ( f(x) = 3x^2 + 2x + 1 ).

• La primitive de ( 3x^2 ) est ( x^3 ).

• La primitive de ( 2x ) est ( x^2 ).

• La primitive de ( 1 ) est ( x ).

Donc, la fonction primitive est :

[ F(x) = x^3 + x^2 + x ]

En appliquant les bornes de l'intégrale, nous obtenons :

[ F(2) - F(0) = (2^3 + 2^2 + 2) - (0^3 + 0^2 + 0) = 8 + 4 + 2 = 14 ]

Résultat : L'aire sous la courbe de ( 0 ) à ( 2 ) est 14.

Exercice 2 : Intégrale d'une fonction exponentielle

Calculez l'intégrale suivante :

[ \int_{1}^{3} e^{2x} , dx ]

Solution :

La primitive de ( e^{2x} ) est ( \frac{1}{2} e^{2x} ).

En appliquant les bornes de l'intégrale, nous obtenons :

[ \left[\frac{1}{2} e^{2x}\right]_{1}^{3} = \frac{1}{2} e^{6} - \frac{1}{2} e^{2} ]

Cela donne :

[ \frac{1}{2} (e^{6} - e^{2}) ]

Résultat : La valeur de l'intégrale est (\frac{1}{2} (e^{6} - e^{2})).

Exercice 3 : Calcul d'une intégrale définie avec un trinom

Calculez l'intégrale suivante :

[ \int_{-1}^{1} (x^3 - 4x + 2) , dx ]

Solution :

Nous trouvons d'abord la primitive de ( f(x) = x^3 - 4x + 2 ).

• La primitive de ( x^3 ) est ( \frac{x^4}{4} ).

• La primitive de ( -4x ) est ( -2x^2 ).

• La primitive de ( 2 ) est ( 2x ).

Donc, la fonction primitive est :

[ F(x) = \frac{x^4}{4} - 2x^2 + 2x ]

En appliquant les bornes de l'intégrale, nous obtenons :

[ F(1) - F(-1) = \left(\frac{1^4}{4} - 2 \times 1^2 + 2 \times 1\right) - \left(\frac{(-1)^4}{4} - 2 \times (-1)^2 + 2 \times (-1)\right) ]

Cela donne :

[ \left(\frac{1}{4} - 2 + 2\right) - \left(\frac{1}{4} - 2 - 2\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 4 = 4 ]

Résultat : L'aire sous la courbe de (-1) à (1) est 4.

Ces exercices vous aideront à mieux comprendre comment aborder et résoudre des intégrales. N'oubliez pas de vérifier vos réponses et de pratiquer régulièrement pour renforcer vos compétences.