Exercices d'Intégrales pour la Terminale

 

Les intégrales sont un concept fondamental en mathématiques, notamment en calcul différentiel et intégral. Voici quelques exercices typiques que vous pourriez rencontrer en classe de terminale.

Exercice 1 : Calcul d'Intégrale Simple

Calculez l'intégrale suivante :

[ \int_{1}^{3} (2x + 1) , dx ]

Solution

Pour résoudre cette intégrale, nous devons d'abord trouver la primitive de la fonction ( f(x) = 2x + 1 ).

La primitive de ( 2x ) est ( x^2 ) et la primitive de ( 1 ) est ( x ). Donc, la primitive de ( f(x) = 2x + 1 ) est :

[ F(x) = x^2 + x ]

Ensuite, nous évaluons cette primitive entre les bornes 1 et 3 :

[ F(3) - F(1) = (3^2 + 3) - (1^2 + 1) = (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10 ]

Donc, l'intégrale est égale à 10.

Exercice 2 : Intégrale avec Fonction Trigonométrique

Calculez l'intégrale suivante :

[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) , dx ]

Solution

La primitive de ( \cos(x) ) est ( \sin(x) ). Donc, nous avons :

[ F(x) = \sin(x) ]

Nous évaluons cette fonction entre les bornes 0 et (\frac{\pi}{2}) :

[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1 ]

Donc, l'intégrale est égale à 1.

Exercice 3 : Intégrale avec Substitution

Calculez l'intégrale suivante à l'aide d'une substitution :

[ \int (3x^2 + 2x) e^{x^3 + x^2} , dx ]

Solution

Pour cette intégrale, nous utilisons la substitution ( u = x^3 + x^2 ), ce qui implique ( du = (3x^2 + 2x) , dx ).

L'intégrale devient alors :

[ \int e^u , du ]

La primitive de ( e^u ) est ( e^u ). Donc :

[ \int e^u , du = e^u + C ]

En remplaçant ( u ) par ( x^3 + x^2 ), on obtient :

[ e^{x^3 + x^2} + C ]

Exercice 4 : Intégrale Définie avec Polynôme

Calculez l'intégrale suivante :

[ \int_{0}^{2} (x^3 - 4x) , dx ]

Solution

La primitive de ( x^3 ) est ( \frac{x^4}{4} ), et la primitive de ( -4x ) est ( -2x^2 ). Donc, la primitive de la fonction est :

[ F(x) = \frac{x^4}{4} - 2x^2 ]

Nous évaluons cette fonction entre les bornes 0 et 2 :

[ F(2) - F(0) = \left(\frac{2^4}{4} - 2(2^2)\right) - \left(\frac{0^4}{4} - 2(0^2)\right) ]

[ = \left(\frac{16}{4} - 8\right) - 0 = 4 - 8 = -4 ]

Donc, l'intégrale est égale à -4.

Ces exercices vous aideront à pratiquer le calcul d'intégrales, un outil essentiel pour résoudre des problèmes en mathématiques et dans de nombreuses autres disciplines scientifiques.