Exercices Corrigés sur les Fonctions Quadratiques

 

Les fonctions quadratiques sont des polynômes de degré 2 et prennent la forme générale ( f(x) = ax^2 + bx + c ). Voici quelques exercices corrigés pour mieux comprendre ces fonctions.

Exercice 1 : Trouver le sommet de la parabole

Énoncé :

Trouvez le sommet de la parabole donnée par la fonction quadratique suivante :
[ f(x) = 2x^2 - 4x + 1 ]

Solution :

Le sommet d'une parabole ( ax^2 + bx + c ) se trouve au point ( \left( h, k \right) ), où :

• ( h = -\frac{b}{2a} )

• ( k = f(h) )

Pour la fonction ( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 ), les coefficients sont :

• ( a = 2 )

• ( b = -4 )

• ( c = 1 )

Calculons ( h ) :

[ h = -\frac{-4}{2 \times 2} = \frac{4}{4} = 1 ]

Calculons ( k ) :

[ k = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 ]

Ainsi, le sommet de la parabole est ( (1, -1) ).

Exercice 2 : Résoudre une équation quadratique

Énoncé :

Résolvez l'équation quadratique suivante :
[ 3x^2 + 6x - 9 = 0 ]

Solution :

Pour résoudre cette équation, nous pouvons utiliser la formule quadratique :

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Pour cette équation, les coefficients sont :

• ( a = 3 )

• ( b = 6 )

• ( c = -9 )

Calculons le discriminant ( \Delta ) :

[ \Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \times 3 \times (-9) = 36 + 108 = 144 ]

Puisque ( \Delta ) est positif, il y a deux solutions réelles :

[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{144}}{2 \times 3} ]

[ x = \frac{-6 \pm 12}{6} ]

Les solutions sont :

• ( x_1 = \frac{-6 + 12}{6} = 1 )

• ( x_2 = \frac{-6 - 12}{6} = -3 )

Donc, les solutions de l'équation sont ( x = 1 ) et ( x = -3 ).

Exercice 3 : Forme canonique d'une fonction quadratique

Énoncé :

Exprimez la fonction quadratique suivante sous forme canonique :
[ f(x) = x^2 + 4x + 5 ]

Solution :

La forme canonique d'une fonction quadratique est donnée par :
[ f(x) = a(x-h)^2 + k ]

Pour convertir ( f(x) = x^2 + 4x + 5 ) en forme canonique, nous complétons le carré :

1. Prenons les deux premiers termes : ( x^2 + 4x ).

2. Complétons le carré : ( x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4 ).

3. Réécrivons la fonction :

[ f(x) = (x + 2)^2 - 4 + 5 ]
[ f(x) = (x + 2)^2 + 1 ]

Ainsi, la forme canonique de la fonction est :
[ f(x) = (x + 2)^2 + 1 ]

Ces exercices illustrent les concepts fondamentaux des fonctions quadratiques, y compris la détermination des sommets, la résolution d'équations, et la conversion en forme canonique.