Exercices sur les Puissances Négatives

 

Les puissances négatives peuvent sembler compliquées au premier abord, mais elles sont en fait assez simples une fois que vous comprenez le concept de base. Voici quelques exercices pour vous aider à maîtriser les puissances négatives.

Introduction aux Puissances Négatives

Une puissance négative peut être exprimée comme suit :
[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} ]
où ( a ) est un nombre réel non nul et ( n ) est un entier positif. Cela signifie que vous prenez l'inverse de la base élevée à la puissance positive.

Exercices Pratiques

Exercice 1 : Conversion de Puissances Négatives en Fractions

Convertissez les puissances négatives suivantes en fractions :

1. ( 2^{-3} )

2. ( 5^{-2} )

3. ( 10^{-1} )

4. ( 7^{-4} )

Réponses :

1. ( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} )

2. ( 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} )

3. ( 10^{-1} = \frac{1}{10^1} = \frac{1}{10} )

4. ( 7^{-4} = \frac{1}{7^4} = \frac{1}{2401} )

Exercice 2 : Simplification d'Expressions avec Puissances Négatives

Simplifiez les expressions suivantes :

1. ( (3^{-1})^2 )

2. ( 4^{-2} \times 4^3 )

3. ( \frac{1}{5^{-2}} )

4. ( 6^{-1} \times 6^2 )

Réponses :

1. ( (3^{-1})^2 = ( \frac{1}{3} )^2 = \frac{1}{9} )

2. ( 4^{-2} \times 4^3 = \frac{1}{4^2} \times 4^3 = 4^{3-2} = 4^1 = 4 )

3. ( \frac{1}{5^{-2}} = 5^2 = 25 )

4. ( 6^{-1} \times 6^2 = 6^{2-1} = 6^1 = 6 )

Exercice 3 : Résolution de Problèmes

Résolvez les problèmes suivants impliquant des puissances négatives :

1. Si ( a = 2^{-3} ) et ( b = 4^{-1} ), calculez ( a \times b ).

2. Simplifiez l'expression ( (9^{-1} \times 3^2)^2 ).

Réponses :

1. ( a = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} ), ( b = \frac{1}{4} ) [ a \times b = \frac{1}{8} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{32} ]

2. ( 9^{-1} = \frac{1}{9} ), donc ( 9^{-1} \times 3^2 = \frac{1}{9} \times 9 = 1 ) [ (1)^2 = 1 ]

Rappel des Règles

Avant de commencer les exercices, voici quelques règles importantes concernant les puissances négatives :

• Puissance négative : ( a^{-n} = \frac{1}{a^n} )

• Produit de puissances : ( a^m \times a^n = a^{m+n} )

• Quotient de puissances : ( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} )

• Puissance d'une puissance : ( (a^m)^n = a^{m \times n} )

Exercices Pratiques

Exercice 1

Simplifiez les expressions suivantes :

1. ( 2^{-3} )

2. ( 5^{-2} )

3. ( 10^{-1} )

Solutions

1. ( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} )

2. ( 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} )

3. ( 10^{-1} = \frac{1}{10} )

Exercice 2

Calculez les expressions suivantes :

1. ( 3^{-2} \times 3^4 )

2. ( \frac{6^{-1}}{2^{-2}} )

3. ( (4^{-1})^3 )

Solutions

1. ( 3^{-2} \times 3^4 = 3^{(-2 + 4)} = 3^2 = 9 )

2. ( \frac{6^{-1}}{2^{-2}} = 6^{-1} \times 2^2 = \frac{1}{6} \times 4 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} )

3. ( (4^{-1})^3 = 4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64} )

Exercice 3

Exprimez les nombres suivants en puissance positive :

1. ( 7^{-3} )

2. ( 9^{-4} )

3. ( 11^{-5} )

Solutions

1. ( 7^{-3} = \frac{1}{7^3} = \frac{1}{343} )

2. ( 9^{-4} = \frac{1}{9^4} = \frac{1}{6561} )

3. ( 11^{-5} = \frac{1}{11^5} = \frac{1}{161051} )

Ces exercices vous aideront à mieux comprendre et à pratiquer l'utilisation des puissances négatives. N'hésitez pas à expérimenter d'autres exemples pour renforcer votre compréhension.