Fiche d'Exercices : Fonction Quadratique

 

Introduction

Les fonctions quadratiques sont des fonctions polynomiales de degré 2, généralement exprimées sous la forme :

[ f(x) = ax^2 + bx + c ]

où ( a ), ( b ), et ( c ) sont des constantes et ( a \neq 0 ). Ces fonctions sont représentées graphiquement par des paraboles.

Objectifs de la fiche

• Comprendre la forme canonique et factorisée de la fonction quadratique.

• Résoudre des équations quadratiques.

• Analyser le sommet et l'axe de symétrie de la parabole.

• Étudier le sens de variation et les solutions.

Exercice 1 : Identification des Coefficients

Consigne : Pour chaque fonction quadratique donnée, identifiez les coefficients ( a ), ( b ), et ( c ).

1. ( f(x) = 2x^2 + 3x - 5 )

2. ( g(x) = -x^2 + 4x + 1 )

3. ( h(x) = \frac{1}{2}x^2 - x + 3 )

Exercice 2 : Calcul du Sommet de la Parabole

Consigne : Utilisez la formule du sommet pour déterminer les coordonnées du sommet de chaque parabole.

Formule du sommet :

[ x_s = -\frac{b}{2a} ]

1. ( f(x) = 3x^2 + 6x + 2 )

2. ( g(x) = -2x^2 + 8x - 3 )

Exercice 3 : Résolution d'Équations Quadratiques

Consigne : Résolvez les équations quadratiques suivantes en utilisant la méthode de votre choix (factorisation, formule quadratique ou complétion du carré).

1. ( 2x^2 + 5x + 3 = 0 )

2. ( x^2 - 4x - 5 = 0 )

3. ( 3x^2 + x - 2 = 0 )

Exercice 4 : Étude du Sens de Variation

Consigne : Déterminez le sens de variation de chaque fonction quadratique et identifiez les intervalles de croissance et décroissance.

1. ( f(x) = -x^2 + 2x + 1 )

2. ( g(x) = x^2 + 4x + 4 )

Exercice 5 : Graphique et Applications

Consigne : Pour chaque fonction quadratique, dessinez son graphique et répondez aux questions suivantes :

• Quel est le point de sommet ?

• Y a-t-il des racines réelles ? Si oui, quelles sont-elles ?

• La parabole est-elle orientée vers le haut ou vers le bas ?

1. ( f(x) = x^2 - 6x + 8 )

2. ( g(x) = -3x^2 + 12x - 9 )

Conclusion

Les fonctions quadratiques sont un outil puissant en mathématiques qui permettent de modéliser de nombreux phénomènes réels. Grâce à cette fiche d'exercices, vous devriez être plus à l'aise avec l'analyse et la manipulation des fonctions quadratiques, ainsi qu'avec l'interprétation de leurs graphiques