Exercices sur les Fonctions Quadratiques

 

Les fonctions quadratiques sont des expressions de la forme ( f(x) = ax^2 + bx + c ), où ( a ), ( b ), et ( c ) sont des constantes et ( a \neq 0 ). Voici quelques exercices pour pratiquer la compréhension et l'utilisation des fonctions quadratiques.

Exercice 1 : Identifier les Coefficients

Considérez la fonction quadratique suivante : ( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 ).

1. Identifiez les coefficients :

   • Quel est le coefficient de ( x^2 ) ?

   • Quel est le coefficient de ( x ) ?

   • Quelle est la constante ?

Réponses :

• Coefficient de ( x^2 ) : 3

• Coefficient de ( x ) : -5

• Constante : 2

Exercice 2 : Trouver le Sommet

Pour une fonction quadratique de la forme ( f(x) = ax^2 + bx + c ), le sommet (ou vertex) de la parabole est donné par les coordonnées ((h, k)), où:

[ h = -\frac{b}{2a} ] [ k = f(h) ]

Considérez la fonction ( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 ).

1. Calculez les coordonnées du sommet.

Solution :

• ( h = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1 )

• ( k = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = -1 )

• Sommet : ((1, -1))

Exercice 3 : Zéros de la Fonction

Trouvez les zéros (racines) de la fonction quadratique ( f(x) = x^2 - 6x + 9 ).

1. Utilisez la formule quadratique :

La formule quadratique est donnée par :

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Appliquez cette formule à ( f(x) ).

Solution :

• Ici, ( a = 1 ), ( b = -6 ), ( c = 9 ).

• Discriminant : ( b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 9 = 36 - 36 = 0 )

• Comme le discriminant est 0, il y a une racine unique :

  • ( x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3 )

Exercice 4 : Graphique de la Fonction

Tracez le graphique de la fonction ( f(x) = -x^2 + 4x - 3 ).

1. Identifiez les caractéristiques suivantes :

   • Sommet

   • Axe de symétrie

   • Ordonnée à l'origine

Solution :

• Sommet : Calculé précédemment avec ( h = 2 ), donc ( k = f(2) = -1 ).

• Axe de symétrie : ( x = 2 )

• Ordonnée à l'origine : ( f(0) = -0^2 + 4 \times 0 - 3 = -3 )

Exercice 5 : Effet des Coefficients sur la Parabole

Considérez les fonctions suivantes :

• ( f_1(x) = x^2 )

• ( f_2(x) = 2x^2 )

• ( f_3(x) = -x^2 )

1. Comparez les effets des coefficients sur la forme et l'orientation des paraboles.

Réponses :

• ( f_1(x) ) : Parabole normale, sommet à l'origine.

• ( f_2(x) ) : Parabole plus étroite, sommet à l'origine.

• ( f_3(x) ) : Parabole inversée, sommet à l'origine.

Ces exercices vous aideront à comprendre comment manipuler et analyser les fonctions quadratiques. Continuez à pratiquer pour renforcer votre compréhension!