Exercices Corrigés sur les Fonctions Quadratiques

 

Les fonctions quadratiques jouent un rôle crucial en mathématiques, en particulier en algèbre. Elles sont souvent représentées sous la forme standard ( f(x) = ax^2 + bx + c ). Voici quelques exercices corrigés pour vous aider à mieux comprendre et maîtriser ces fonctions.

Exercice 1 : Trouver le sommet de la parabole

Énoncé : Trouvez le sommet de la parabole définie par la fonction quadratique ( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 ).

Solution :

La formule pour trouver le sommet d'une parabole donnée par ( f(x) = ax^2 + bx + c ) est :

• Coordonnée en x du sommet : ( x_s = -\frac{b}{2a} )

Pour ( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 ), nous avons ( a = 2 ), ( b = -4 ), et ( c = 1 ).

Calculons ( x_s ) :

[ x_s = -\frac{-4}{2 \times 2} = \frac{4}{4} = 1 ]

Ensuite, calculons ( y_s = f(x_s) ) :

[ y_s = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 ]

Ainsi, le sommet de la parabole est ( (1, -1) ).

Exercice 2 : Calculer les racines de la fonction

Énoncé : Déterminez les racines de la fonction quadratique ( f(x) = x^2 - 6x + 8 ).

Solution :

Pour trouver les racines de la fonction quadratique, nous utilisons la formule quadratique :

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Pour ( f(x) = x^2 - 6x + 8 ), on a ( a = 1 ), ( b = -6 ), et ( c = 8 ).

Calculons le discriminant ( \Delta = b^2 - 4ac ) :

[ \Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 8 = 36 - 32 = 4 ]

Comme le discriminant est positif, il y a deux solutions distinctes :

[ x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \times 1} = \frac{6 + 2}{2} = 4 ]

[ x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{4}}{2 \times 1} = \frac{6 - 2}{2} = 2 ]

Les racines de la fonction sont ( x = 4 ) et ( x = 2 ).

Exercice 3 : Déterminer la direction de la concavité

Énoncé : Pour la fonction quadratique ( f(x) = -3x^2 + 12x - 5 ), déterminez si la parabole s'ouvre vers le haut ou vers le bas.

Solution :

La direction de la concavité d'une parabole est déterminée par le signe du coefficient ( a ) dans la fonction quadratique ( f(x) = ax^2 + bx + c ).

Pour ( f(x) = -3x^2 + 12x - 5 ), nous avons ( a = -3 ).

Puisque ( a < 0 ), la parabole s'ouvre vers le bas.

Ces exercices vous permettent de mieux comprendre les propriétés des fonctions quadratiques. N'hésitez pas à pratiquer davantage pour renforcer vos compétences en algèbre!