Exercice sur les Fonctions Quadratiques

 

Les fonctions quadratiques sont une partie essentielle du programme de mathématiques de secondaire 4. Elles sont souvent présentées sous la forme suivante :

[ f(x) = ax^2 + bx + c ]

où (a), (b), et (c) sont des constantes, et (a \neq 0).

Exercice 1 : Identifier les Composantes

Pour chaque fonction quadratique ci-dessous, identifiez les valeurs de (a), (b), et (c).

1. ( f(x) = 2x^2 + 3x - 5 )

2. ( f(x) = -x^2 + 4x + 6 )

3. ( f(x) = 5x^2 - 7 )

Réponses

1. (a = 2), (b = 3), (c = -5)

2. (a = -1), (b = 4), (c = 6)

3. (a = 5), (b = 0), (c = -7)

Exercice 2 : Trouver les Zéros de la Fonction

Trouver les zéros (ou racines) des fonctions quadratiques suivantes en utilisant la formule quadratique :

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

1. ( f(x) = x^2 - 4x - 5 )

2. ( f(x) = 3x^2 + 6x + 2 )

Réponses

1. Pour ( f(x) = x^2 - 4x - 5 ):

   • (a = 1), (b = -4), (c = -5)

   • (x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1})

   • (x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2})

   • (x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2})

   • (x = \frac{4 \pm 6}{2})

   • (x_1 = 5), (x_2 = -1)

2. Pour ( f(x) = 3x^2 + 6x + 2 ):

   • (a = 3), (b = 6), (c = 2)

   • (x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3})

   • (x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6})

   • (x = \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{6})

   • (x = \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{6})

   • (x_1 = -1 + \frac{\sqrt{3}}{3}), (x_2 = -1 - \frac{\sqrt{3}}{3})

Exercice 3 : Forme Canonique

Convertissez les fonctions quadratiques ci-dessous en forme canonique :

1. ( f(x) = x^2 + 6x + 8 )

2. ( f(x) = 2x^2 - 4x + 3 )

La forme canonique est ( f(x) = a(x-h)^2 + k ), où le sommet de la parabole est ((h, k)).

Réponses

1. Pour ( f(x) = x^2 + 6x + 8 ):

   • Compléter le carré : ( f(x) = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 8 )

   • ( f(x) = (x + 3)^2 - 1 )

   • Forme canonique : ( f(x) = (x + 3)^2 - 1 )

2. Pour ( f(x) = 2x^2 - 4x + 3 ):

   • Compléter le carré : ( f(x) = 2(x^2 - 2x + 1) - 2 + 3 )

   • ( f(x) = 2(x - 1)^2 + 1 )

   • Forme canonique : ( f(x) = 2(x - 1)^2 + 1 )

   
   

Ces exercices couvrent une variété d'aspects des fonctions quadratiques et devraient vous aider à mieux comprendre ce sujet important.