Les Nombres Complexes : Argument et Module

 

Les nombres complexes sont une extension des nombres réels qui permettent de résoudre des équations qui n'ont pas de solution dans les nombres réels. Chaque nombre complexe peut être représenté sous la forme ( z = a + bi ), où ( a ) et ( b ) sont des nombres réels, et ( i ) est l'unité imaginaire, avec la propriété ( i^2 = -1 ).

Module d'un Nombre Complexe

Le module d'un nombre complexe ( z = a + bi ) est une mesure de sa distance à l'origine dans le plan complexe. Il est noté ( |z| ) et est calculé comme suit :

[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} ]

Le module est toujours un nombre réel positif ou nul.

Exemple

Pour ( z = 3 + 4i ), le module est :

[ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]

Argument d'un Nombre Complexe

L'argument d'un nombre complexe est l'angle que forme le vecteur représentant le nombre complexe avec l'axe des abscisses dans le plan complexe. Il est noté ( \arg(z) ) et est généralement mesuré en radians. L'argument est calculé à partir des coordonnées ( a ) et ( b ) comme suit :

• Si ( a > 0 ), alors ( \arg(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) )

• Si ( a < 0 ) et ( b \geq 0 ), alors ( \arg(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) + \pi )

• Si ( a < 0 ) et ( b < 0 ), alors ( \arg(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) - \pi )

• Si ( a = 0 ) et ( b > 0 ), alors ( \arg(z) = \frac{\pi}{2} )

• Si ( a = 0 ) et ( b < 0 ), alors ( \arg(z) = -\frac{\pi}{2} )

Exemple

Pour ( z = 1 + i ), l'argument est :

[ \arg(z) = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} ]

Représentation Polaire

Un nombre complexe peut être exprimé en forme polaire, qui utilise le module et l'argument :

[ z = |z| (\cos(\arg(z)) + i\sin(\arg(z))) ]

Cette représentation est particulièrement utile pour la multiplication et la division des nombres complexes.

Exemple

Pour ( z = 3 + 4i ), avec ( |z| = 5 ) et ( \arg(z) = \arctan(\frac{4}{3}) ), la forme polaire est :

[ z = 5 (\cos(\arctan(\frac{4}{3})) + i\sin(\arctan(\frac{4}{3}))) ]

En conclusion, comprendre le module et l'argument d'un nombre complexe est essentiel pour manipuler ces nombres dans divers contextes mathématiques et physiques.